Verhältnis von Bogenlänge und Sektorfläche
Bogenlänge und Sektorfläche nehmen denselben Anteil am gesamten Kreis, deshalb ändern sich beide im gleichen Verhältnis zum Mittelpunktswinkel:
Nakafa
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Alle drei Brüche beschreiben denselben Anteil am vollständigen Kreis.
Multipliziere den Winkelanteil mit dem Kreisumfang, um die Bogenlänge zu erhalten, oder mit der Kreisfläche für die Sektorfläche. Beide Formeln verwenden Radius und Winkel desselben Sektors:
Bezeichne die Bogenlänge mit und die Sektorfläche mit . Dividiere bei einem Winkel ungleich null die beiden Formeln. Der gemeinsame Winkelanteil kürzt sich heraus:
Die Zeichnungen verwenden denselben Radius von 4 Einheiten. Vergleiche den Winkelanteil mit dem Umfangs- und Flächenanteil. Wächst der Winkel von 45 auf 90 Grad, verdoppeln sich sowohl Bogenlänge als auch Sektorfläche.
| Winkel | Bogenlänge | Sektorfläche |
|---|---|---|
Im vereinfachten Modell der Messung von Eratosthenes ist die Erde eine Kugel. Die Städte liegen auf demselben Meridian, und Sonnenstrahlen treffen parallel ein. Zur Sommersonnenwende steht die Sonne im Modell mittags senkrecht über Syene. In Alexandria beträgt ihr Winkel zur Vertikalen etwa . Wegen der parallelen Strahlen entspricht dieser Winkel dem Winkel zwischen den Städten im Erdmittelpunkt.
Mit einem angenommenen Oberflächenabstand von entspricht die Strecke einem Fünfzigstel des Umfangs. Das Modell erklärt die geometrische Methode und gibt keine exakten heutigen Ortsmessungen wieder.
Verwendung der proportionalen Beziehung:
Dabei ist die Entfernung von Alexandria nach Syene und der Erdumfang:
Die Länge des antiken Stadions ist nicht sicher bekannt. Nimmt man 160 Meter pro Stadion an, entsprechen 250.000 Stadien einer Strecke von 40.000 km. Andere angenommene Stadienlängen ergeben andere Umrechnungen.
Bei einem Kreis mit Radius und einem von null verschiedenen Mittelpunktswinkel ergibt die Sektorfläche geteilt durch die Bogenlänge :
Ändert sich der Mittelpunktswinkel, ändern sich Sektorfläche und Bogenlänge um denselben Faktor. Ihr Verhältnis bleibt daher .
Das Verhältnis hängt allein vom Radius ab. Der Mittelpunktswinkel kürzt sich bei der Division heraus.
Die ersten beiden Aufgaben verwenden die Beziehung zwischen Fläche und Bogenlänge, um eine Fläche oder einen Radius zu bestimmen. Die dritte nutzt den Anteil des Bogens am Umfang einer kugelförmigen Erde.
Ein Kreis hat den Radius . Die Bogenlänge eines Sektors beträgt . Bestimme seine Fläche.
Ein Sektor hat die Fläche und die Bogenlänge . Bestimme den Kreisradius.
Zwei Orte liegen auf demselben Großkreis und sind voneinander entfernt. Der zugehörige Mittelpunktswinkel der Erde beträgt . Schätze den Erdumfang.
Bestimme zuerst die gesuchte Größe. Für die Fläche multiplizierst du die Bogenlänge mit dem halben Radius. Für den Radius stellst du die Gleichung um. Den Erdumfang erhältst du über den Anteil an einer vollen Umdrehung.
Lösung 1
Gegeben: , Bogenlänge =
Verwendet wird:
Lösung 2
Gegeben: Sektorfläche = , Bogenlänge =
Verwendet wird:
Lösung 3
Gegeben: Abstand = , Winkel =
Verwenden des Verhältnisses:
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