Verständnis und Bedeutung von Pi
Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese Konstante heißt (Pi), und ihr Wert beginnt mit .
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Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese Konstante heißt (Pi), und ihr Wert beginnt mit .
Mathematisch kann wie folgt definiert werden:
Die Größe des Kreises spielt dabei keine Rolle: Verdoppeln sich alle Längen, verdoppeln sich Umfang und Durchmesser gemeinsam, ihr Verhältnis bleibt jedoch unverändert.
Erhaltene antike Quellen enthalten mehrere Näherungen und nicht einen überall verwendeten Wert. Eine mesopotamische Näherung lautet .
Der ägyptische Rhind-Papyrus, der auf etwa datiert wird, enthält eine Regel, die entspricht. Das ergibt ungefähr . Keine der beiden Näherungen ist der exakte Wert von . Von diesen beiden liegt der mesopotamische Wert sogar näher.
Archimedes von Syrakus, ein griechischer Mathematiker, der etwa lebte, entwickelte eine systematische Methode, um genauer einzugrenzen. Er verglich regelmäßige Vielecke innerhalb und außerhalb eines Kreises.
Der Umfang des einbeschriebenen Vielecks liegt unter dem Kreisumfang, der des umbeschriebenen Vielecks darüber. Mit immer mehr Seiten rücken beide Grenzen enger zusammen.
Mit -seitigen Vielecken bewies Archimedes, dass zwischen und liegt. Insbesondere ist hier eine obere Schranke und nicht der exakte Wert von :
Im . Jahrhundert n. Chr. verfeinerte der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi die Polygonmethode. Er bestimmte die bemerkenswert enge Schranke .
Zu Chongzhi gab außerdem die Näherung an. Sie ergibt und stimmt in den ersten sechs Nachkommastellen mit überein. Seine Schranke mit sieben Nachkommastellen wurde erst durch al-Kashis Arbeit im . Jahrhundert übertroffen, fast ein Jahrtausend später.
Der walisische Mathematiker William Jones verwendete in seinem Werk „Synopsis Palmariorum Matheseos“ von in der heute üblichen Bedeutung. Die Schreibweise setzte sich nicht sofort allgemein durch.
Leonhard Euler übernahm das Symbol später in seinen einflussreichen Arbeiten. Dadurch wurde zur bis heute üblichen mathematischen Notation.
ist irrational und lässt sich daher nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Johann Heinrich Lambert lieferte im . Jahrhundert den ersten strengen Beweis dafür. Ferdinand von Lindemann bewies , dass außerdem transzendent ist. Die Zahl ist also keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten.
Für viele Schulrechnungen genügen oder . Präzise technische und wissenschaftliche Berechnungen verwenden entsprechend mehr Stellen.
Die grundlegende Beziehung von zur Kreisgeometrie kann ausgedrückt werden als:
Dabei ist der Umfang, der Durchmesser, die Fläche und der Radius des Kreises.