Mittelpunktswinkel und Kreisbogen

Definition des Mittelpunktswinkels

Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien begrenzt und hat seinen Scheitel $im Kreismittelpunkt$ . Ein Tortenstück zeigt das gut: Seine Spitze liegt in der Mitte, seine beiden geraden Seiten verlaufen entlang der Radien.

In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ liegen $A$ und $B$ auf der Kreislinie. Dann ist $\angle AOB$ ein Mittelpunktswinkel, der den Bogen $AB$ zwischen diesen beiden Punkten überspannt.

Der Mittelpunktswinkel

\angle AOB

Die Radien

OA

und

OB

bilden den Winkel. Sein Scheitel liegt im Kreismittelpunkt

O

Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Bogen

$Der Mittelpunktswinkel und der zugehörige Bogen$ haben dasselbe Gradmaß. Ein Winkel von $60^\circ$ erfasst also genau einen $60^\circ$ -Bogen.

Gilt $\angle AOB = 60^\circ$ , dann misst auch der Bogen $AB$ genau $60^\circ$ . Beide Zahlen sind Gradmaße. Die Bogenlänge hat eine Längeneinheit wie Zentimeter.

Bogenarten nach dem Mittelpunktswinkel

Der Mittelpunktswinkel wählt einen $Anteil des Kreisumfangs$ aus. Vergleiche ihn mit einer halben Umdrehung, um die drei Bogenarten zu unterscheiden. Zwei Bögen mit denselben Endpunkten ergänzen sich zu einer vollen Umdrehung.

Kleiner Bogen

Ein kleiner Bogen wird von einem Mittelpunktswinkel unter $180^\circ$ aufgespannt und ist $kürzer als der halbe Kreisumfang$ . Bei $90^\circ$ umfasst er ein Viertel des Umfangs, weil $90/360$ genau ein Viertel ist.

Halbkreisbogen

Ein Halbkreisbogen gehört genau zu $180^\circ$ . Seine Endpunkte liegen auf $einem Durchmesser$ , und seine Länge entspricht der Hälfte des Kreisumfangs. Der zugehörige Sektor ist der Halbkreis selbst.

Großer Bogen

Ein großer Bogen wird von einem $Reflexwinkel$ über $180^\circ$ aufgespannt und ist länger als der halbe Kreisumfang. Sein Gradmaß ergänzt das des zugehörigen kleinen Bogens zu einem Vollwinkel:

\theta_{\mathrm{major}}=360^\circ-60^\circ=300^\circ

Kleiner und großer Bogen mit gemeinsamen Endpunkten

Der kleine Bogen mit 60 Grad und der große Bogen mit 300 Grad bilden den ganzen Kreisumfang.

Bogenlänge berechnen

Der Bogen nimmt denselben Anteil am Kreisumfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel. Daher gilt:

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

Die Variablen in dieser Formel bedeuten:

$s$ die Bogenlänge
$\theta$ den Mittelpunktswinkel in Grad
$r$ den Kreisradius

Das Bogenmaß ist als $Bogenlänge geteilt durch Radius$ definiert. Für einen Winkel im Bogenmaß folgt daher direkt:

s = \theta \times r

Dabei muss $\theta$ im Bogenmaß eingesetzt werden.

Bogenlänge aus einem Mittelpunktswinkel berechnen

Betrachten wir einen Kreis mit $r = 6 \text{ cm}$ und $\theta = 120^\circ$ .

Der Winkel umfasst $ein Drittel einer Umdrehung$ . Nimm deshalb ein Drittel des Kreisumfangs:

s = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 6

Der zum Mittelpunktswinkel $120^\circ$ gehörende Bogen ist somit $4\pi \text{ cm}$ lang, also ungefähr $12{,}57 \text{ cm}$ .

Beispiel mit

120^\circ

Kreis mit Radius

6 \text{ cm}

und Mittelpunktswinkel

120^\circ

Beispiele für Mittelpunktswinkel

Der $Minutenzeiger$ einer Uhr macht pro Stunde eine volle Umdrehung. In fünf Minuten überstreicht er $30^\circ$ . Ist er $10\text{ cm}$ lang, legt seine Spitze folgende Bogenlänge zurück:

s=\frac{30^\circ}{360^\circ}\times2\pi(10)=\frac{5\pi}{3}\text{ cm}

Übungen

In jeder Aufgabe wird ein Mittelpunktswinkel mit dem zugehörigen Bogen verknüpft, deshalb wählst du zwischen $Grad und Bogenmaß$ und behältst eine Einheit bis zum Ende bei.

Ein Kreis hat den Radius $8 \text{ cm}$ . Berechne die Länge des Bogens zu $45^\circ$ .
Ein Bogen ist $10\pi \text{ cm}$ lang, der Kreisradius beträgt $15 \text{ cm}$ . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel.
In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ gilt $\angle AOB = 72^\circ$ und $r = 5 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge des Bogens $AB$ als Vielfaches von $\pi$ .
Ein Fahrradrad mit Radius $30 \text{ cm}$ dreht sich an einer festen Achse um $150^\circ$ . Welche Strecke legt ein Punkt am Rand auf seiner Kreisbahn zurück?

Ausführliche Lösungen

Bestimme bei den Aufgaben eins, drei und vier den $Anteil einer vollen Umdrehung$ . In Aufgabe zwei stellst du die Gleichung nach dem gesuchten Winkel um.

$Lösung 1$

Gegeben: $r = 8 \text{ cm}$ und $\theta = 45^\circ$

Gesucht: Bogenlänge $s$

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

s = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 8

$Schritt 3$ : Bruch vereinfachen

s = \frac{1}{8} \times 16\pi

$Schritt 4$ : Ergebnis berechnen

s = 2\pi \text{ cm}

Die Bogenlänge beträgt $2\pi \text{ cm}$ , also ungefähr $6{,}28 \text{ cm}$ .

$Lösung 2$

Gegeben: $s = 10\pi \text{ cm}$ und $r = 15 \text{ cm}$

Gesucht: Mittelpunktswinkel $\theta$

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

10\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi \times 15

$Schritt 3$ : Gleichung vereinfachen

10\pi = \frac{\theta \times 30\pi}{360^\circ}

$Schritt 4$ : $\theta$ isolieren

\theta = \frac{10\pi \times 360^\circ}{30\pi}

$Schritt 5$ : Ergebnis berechnen

\theta = \frac{3600^\circ}{30} = 120^\circ

Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt $120^\circ$ .

$Lösung 3$

Gegeben: $\angle AOB = 72^\circ$ und $r = 5 \text{ cm}$

Gesucht: Länge des Bogens $AB$

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 5

$Schritt 3$ : Bruch vereinfachen

s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 10\pi = \frac{1}{5} \times 10\pi

$Schritt 4$ : Ergebnis berechnen

s = 2\pi \text{ cm}

Der Bogen $AB$ ist damit $2\pi \text{ cm}$ lang.

$Lösung 4$

Gegeben: $r = 30 \text{ cm}$ und $\theta = 150^\circ$

Gesucht: zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 30

$Schritt 3$ : Bruch vereinfachen

s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 60\pi = \frac{5}{12} \times 60\pi

$Schritt 4$ : Ergebnis berechnen

s = 25\pi \text{ cm}

Der Punkt legt auf seiner Kreisbahn $25\pi \text{ cm}$ zurück, also ungefähr $78{,}54 \text{ cm}$ .

Definition des Mittelpunktswinkels

In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ liegen $A$ und $B$ auf der Kreislinie. Dann ist $\angle AOB$ ein Mittelpunktswinkel, der den Bogen $AB$ zwischen diesen beiden Punkten überspannt.

Der Mittelpunktswinkel

\angle AOB

Die Radien

OA

und

OB

bilden den Winkel. Sein Scheitel liegt im Kreismittelpunkt

O

Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Bogen

$Der Mittelpunktswinkel und der zugehörige Bogen$ haben dasselbe Gradmaß. Ein Winkel von $60^\circ$ erfasst also genau einen $60^\circ$ -Bogen.

Gilt $\angle AOB = 60^\circ$ , dann misst auch der Bogen $AB$ genau $60^\circ$ . Beide Zahlen sind Gradmaße. Die Bogenlänge hat eine Längeneinheit wie Zentimeter.

Bogenarten nach dem Mittelpunktswinkel

Kleiner Bogen

Halbkreisbogen

Großer Bogen

\theta_{\mathrm{major}}=360^\circ-60^\circ=300^\circ

Kleiner und großer Bogen mit gemeinsamen Endpunkten

Der kleine Bogen mit 60 Grad und der große Bogen mit 300 Grad bilden den ganzen Kreisumfang.

Bogenlänge berechnen

Der Bogen nimmt denselben Anteil am Kreisumfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel. Daher gilt:

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

Die Variablen in dieser Formel bedeuten:

$s$ die Bogenlänge
$\theta$ den Mittelpunktswinkel in Grad
$r$ den Kreisradius

Das Bogenmaß ist als $Bogenlänge geteilt durch Radius$ definiert. Für einen Winkel im Bogenmaß folgt daher direkt:

s = \theta \times r

Dabei muss $\theta$ im Bogenmaß eingesetzt werden.

Bogenlänge aus einem Mittelpunktswinkel berechnen

Betrachten wir einen Kreis mit $r = 6 \text{ cm}$ und $\theta = 120^\circ$ .

Der Winkel umfasst $ein Drittel einer Umdrehung$ . Nimm deshalb ein Drittel des Kreisumfangs:

s = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 6

Der zum Mittelpunktswinkel $120^\circ$ gehörende Bogen ist somit $4\pi \text{ cm}$ lang, also ungefähr $12{,}57 \text{ cm}$ .

Beispiel mit

120^\circ

Kreis mit Radius

6 \text{ cm}

und Mittelpunktswinkel

120^\circ

Beispiele für Mittelpunktswinkel

Der $Minutenzeiger$ einer Uhr macht pro Stunde eine volle Umdrehung. In fünf Minuten überstreicht er $30^\circ$ . Ist er $10\text{ cm}$ lang, legt seine Spitze folgende Bogenlänge zurück:

s=\frac{30^\circ}{360^\circ}\times2\pi(10)=\frac{5\pi}{3}\text{ cm}

Übungen

In jeder Aufgabe wird ein Mittelpunktswinkel mit dem zugehörigen Bogen verknüpft, deshalb wählst du zwischen $Grad und Bogenmaß$ und behältst eine Einheit bis zum Ende bei.

Ein Kreis hat den Radius $8 \text{ cm}$ . Berechne die Länge des Bogens zu $45^\circ$ .
Ein Bogen ist $10\pi \text{ cm}$ lang, der Kreisradius beträgt $15 \text{ cm}$ . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel.
In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ gilt $\angle AOB = 72^\circ$ und $r = 5 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge des Bogens $AB$ als Vielfaches von $\pi$ .
Ein Fahrradrad mit Radius $30 \text{ cm}$ dreht sich an einer festen Achse um $150^\circ$ . Welche Strecke legt ein Punkt am Rand auf seiner Kreisbahn zurück?

Ausführliche Lösungen

Bestimme bei den Aufgaben eins, drei und vier den $Anteil einer vollen Umdrehung$ . In Aufgabe zwei stellst du die Gleichung nach dem gesuchten Winkel um.

$Lösung 1$

Gegeben: $r = 8 \text{ cm}$ und $\theta = 45^\circ$

Gesucht: Bogenlänge $s$

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

s = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 8

$Schritt 3$ : Bruch vereinfachen

s = \frac{1}{8} \times 16\pi

$Schritt 4$ : Ergebnis berechnen

s = 2\pi \text{ cm}

Die Bogenlänge beträgt $2\pi \text{ cm}$ , also ungefähr $6{,}28 \text{ cm}$ .

$Lösung 2$

Gegeben: $s = 10\pi \text{ cm}$ und $r = 15 \text{ cm}$

Gesucht: Mittelpunktswinkel $\theta$

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

10\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi \times 15

$Schritt 3$ : Gleichung vereinfachen

10\pi = \frac{\theta \times 30\pi}{360^\circ}

$Schritt 4$ : $\theta$ isolieren

\theta = \frac{10\pi \times 360^\circ}{30\pi}

$Schritt 5$ : Ergebnis berechnen

\theta = \frac{3600^\circ}{30} = 120^\circ

Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt $120^\circ$ .

$Lösung 3$

Gegeben: $\angle AOB = 72^\circ$ und $r = 5 \text{ cm}$

Gesucht: Länge des Bogens $AB$

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 5

$Schritt 3$ : Bruch vereinfachen

s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 10\pi = \frac{1}{5} \times 10\pi

$Schritt 4$ : Ergebnis berechnen

s = 2\pi \text{ cm}

Der Bogen $AB$ ist damit $2\pi \text{ cm}$ lang.

$Lösung 4$

Gegeben: $r = 30 \text{ cm}$ und $\theta = 150^\circ$

Gesucht: zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge

$Schritt 1$ : Bogenlängenformel aufstellen

s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r

$Schritt 2$ : Bekannte Werte einsetzen

s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 30

$Schritt 3$ : Bruch vereinfachen

s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 60\pi = \frac{5}{12} \times 60\pi

$Schritt 4$ : Ergebnis berechnen

s = 25\pi \text{ cm}

Der Punkt legt auf seiner Kreisbahn $25\pi \text{ cm}$ zurück, also ungefähr $78{,}54 \text{ cm}$ .