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Eine -Matrix besitzt zwei Zeilen und zwei Spalten. Betrachten wir die Matrix :
Die Determinante der Matrix , geschrieben als oder , ist das Produkt auf der Hauptdiagonalen minus das Produkt auf der anderen Diagonalen.
Die Formel lautet:
Die senkrechten Striche in der Formel bezeichnen die Determinante . Die eckigen Klammern in der Definition von umschließen die Matrixeinträge.
Gegeben ist die Matrix :
Für die Formel setzen wir , , und ein.
Dann ist die Determinante der Matrix :
Die Determinante der Matrix ist also .
Mit der Cramerschen Regel lassen sich lineare Gleichungssysteme mithilfe von Determinanten lösen.
Betrachten wir das folgende System aus zwei linearen Gleichungen:
In diesem System sind und die Variablen, deren Werte wir finden wollen. Die Koeffizienten und Konstanten sind bekannte Zahlen.
Dieses Gleichungssystem kann in eine Matrixmultiplikationsform umgewandelt werden:
Der erste Schritt besteht darin, die Determinante der Koeffizientenmatrix zu berechnen, die wir nennen:
Ein System linearer Gleichungen hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn .
Danach werden zwei weitere Determinanten benötigt:
ist die Determinante der Koeffizientenmatrix, in der die erste Spalte mit den Koeffizienten von durch die Konstantenspalte ersetzt wird:
ist die Determinante der Koeffizientenmatrix, in der die zweite Spalte mit den Koeffizienten von durch die Konstantenspalte ersetzt wird:
Nachdem wir die Werte von , und erhalten haben, können wir die Werte von und mithilfe der Formeln ermitteln:
Diese Formeln sind nur gültig, wenn .
Für sind die Brüche der Cramerschen Regel nicht definiert. Daraus allein folgt noch nicht, ob das System keine oder unendlich viele Lösungen hat. Diese Fälle müssen durch Elimination oder Zeilenreduktion unterschieden werden.
Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
Aus dem obigen System erhalten wir:
, ,
, ,
Schritt 1: Berechne die Determinante .
Da gilt, besitzt das System genau eine Lösung.
Schritt 2: Berechne die Determinante .
Schritt 3: Berechne die Determinante .
Schritt 4: Berechne und .
Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist also und oder kann als geordnetes Paar geschrieben werden.
Du kannst die Cramer-Lösung auch als Schnittpunkt zweier Geraden lesen. Schreibe die Gleichungen als und . Ihre Steigungen unterscheiden sich, daher haben sie genau einen Schnittpunkt.
Durch Einsetzen der Schnittpunktkoordinaten überprüfst du beide Gleichungen.
Jede Aufgabe unten nutzt die Determinante auf eine andere Weise. Die erste verlangt einen unbekannten Eintrag in einer Matrix mit gegebener Determinante, die zweite verlangt die Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Für die folgende Matrix gilt . Bestimme .
Löse das folgende lineare Gleichungssystem:
Die Matrix der ersten Aufgabe lautet:
Ihre Determinante ist:
Mit folgt:
Der Wert von ist also .
System linearer Gleichungen:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
Wir ermitteln und .
Dann sind die Werte von und :
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist also und oder das geordnete Paar .
