Grundkonzept der Sarrus-Methode
Die Sarrus-Methode ist ein schnelles Verfahren für die Determinante einer -Matrix. Um ihr Vorzeichenmuster zu verstehen, erinnern wir uns zunächst an die Determinante einer -Matrix.
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Die Sarrus-Methode ist ein schnelles Verfahren für die Determinante einer -Matrix. Um ihr Vorzeichenmuster zu verstehen, erinnern wir uns zunächst an die Determinante einer -Matrix.
Für eine -Matrix gilt:
Ihre Determinante oder wird so berechnet:
Wir ziehen also das Produkt der Gegendiagonale () vom Produkt der Hauptdiagonale () ab. Die Sarrus-Methode überträgt dieses Vorzeichenmuster auf -Matrizen.
Wir beginnen mit einer -Matrix :
Das Element steht in der -ten Zeile und -ten Spalte.
Schritt : Die ersten beiden Spalten wiederholen
Wir schreiben die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts neben die dritte Spalte:
Dadurch werden die sechs Diagonalen sichtbar, deren Elemente wir multiplizieren.
Schritt : Produkte der positiven Diagonalen addieren
Wir multiplizieren die Elemente auf den drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und addieren die Produkte. Diese Summe nennen wir .
Der erste Term ist das Produkt der Hauptdiagonale. Der zweite und dritte Term sind Produkte paralleler Diagonalen mit Elementen aus den kopierten Spalten.
Schritt : Produkte der negativen Diagonalen addieren
Danach multiplizieren wir die Elemente auf den drei Diagonalen von rechts oben nach links unten und addieren diese Produkte. Die Summe heißt .
Der erste Term ist das Produkt der Gegendiagonale. Der zweite und dritte Term stammen von den parallelen Diagonalen, die durch die wiederholten Spalten entstehen.
Schritt : Die Determinante bilden
Die Determinante der Matrix , , ist die Differenz zwischen und :
Wir setzen und ein:
Nach dem Auflösen der Klammer erhalten wir:
Berechne die Determinante der Matrix :
Wir halten die beiden Diagonalsummen bis zur letzten Subtraktion getrennt. So lässt sich das Vorzeichen leichter prüfen:
Die Determinante ist . Eine Kofaktorentwicklung derselben Matrix liefert denselben Wert und dient als unabhängige Kontrolle.
Das vollständige Diagonalmuster lässt sich so darstellen:
Wir wiederholen die ersten beiden Spalten und markieren die sechs Produkte:
Damit lautet die vollständige Formel:
Die Sarrus-Methode gilt nur für -Matrizen. Die Rechnung für oben erinnert lediglich an das Vorzeichenmuster der Diagonalen und ist kein weiterer Fall der Sarrus-Methode. Für größere Matrizen, etwa eine -Matrix, verwenden wir stattdessen die Kofaktorentwicklung oder eine Zeilenreduktion.
Berechne mit der Sarrus-Methode die Determinante von:
Berechne zuerst beide Diagonalsummen und ziehe dann die negative von der positiven Diagonalsumme ab:
Damit gilt .