Die inverse Matrix verstehen
In der Menge der reellen Zahlen hat jede von Null verschiedene Zahl einen Kehrwert, nämlich die Zahl , die die Eigenschaft erfüllt. Ein ähnliches Konzept gilt für Matrizen.
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In der Menge der reellen Zahlen hat jede von Null verschiedene Zahl einen Kehrwert, nämlich die Zahl , die die Eigenschaft erfüllt. Ein ähnliches Konzept gilt für Matrizen.
Ist eine quadratische Matrix, zum Beispiel eine -Matrix, und die gleich große Einheitsmatrix, dann heißt die Inverse von , wenn folgende Gleichung gilt:
Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus besteht und deren übrige Einträge sind. Für das Format gilt zum Beispiel .
Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist, also beziehungsweise gilt.
Für eine -Matrix sei:
Wenn gilt, lässt sich die Inverse von mit der folgenden Formel berechnen:
Sehen wir uns die beiden Bestandteile der Formel an:
Determinante der Matrix ( oder ):
Berechnet als:
Adjugierte Matrix zu ():
Sie entsteht, indem man die beiden Hauptdiagonaleinträge vertauscht und die Vorzeichen der beiden übrigen Einträge wechselt:
Damit lautet die vollständige Formel für die Inverse einer -Matrix:
Bestimme die Inverse der Matrix .
Lösung:
Schritt : Lies die Einträge der Matrix ab.
Schritt : Berechne die Determinante von .
Da gilt, ist invertierbar.
Schritt : Bestimme die adjugierte Matrix zu .
Schritt : Berechne die Inverse von .
Damit ist die Inverse von .
Wir prüfen das Ergebnis, statt uns nur auf die Formel zu verlassen:
Für eine -Matrix gilt dasselbe Grundprinzip wie für eine -Matrix:
Allerdings sind die Determinante und die adjugierte Matrix bei einer -Matrix aufwendiger zu berechnen.
Die Berechnung beider Größen für eine -Matrix umfasst mehr Schritte und wird deshalb in eigenen Lektionen ausführlicher behandelt.
Eine wichtige Anwendung der Matrixinversen ist das Lösen linearer Gleichungssysteme. Ein solches System lässt sich in Matrixform schreiben als
Dabei ist die Koeffizientenmatrix, die Matrix der Unbekannten und die rechte Seite. Ist invertierbar, multiplizieren wir beide Seiten von links mit . Die Seite ist wichtig, weil die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist:
Das ist das Gegenstück zur Division bei Matrizen: Sobald bekannt ist, lässt sich die unbekannte Matrix isolieren, ohne jede Gleichung einzeln zu lösen.
Gegeben sind die Matrizen und .
Bestimmen von :
Bestimmen von :
Bestimmen von :
Bestimmen von :
Berechne zunächst :
Vergleich von und :
Setze . Berechne nun :
Aus den Berechnungen:
Es gilt also . Die Inverse einer Summe ist im Allgemeinen nicht die Summe der einzelnen Inversen.
Die Inversenbildung lässt sich also nicht über eine Summe verteilen. Dieselbe Warnung gilt schon für gewöhnliche Kehrwerte: Im Allgemeinen ist .