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Zwei Matrizen und können genau dann addiert werden, wenn sie dasselbe Format haben.
Matrix habe das Format und die Einträge . Dabei bezeichnet die Zeile und die Spalte. Matrix habe ebenfalls das Format und die Einträge .
Ihre Summe nennen wir Matrix und schreiben . Matrix hat ebenfalls das Format . Ihre Einträge sind definiert durch:
Die Formel addiert also für jede Position den Eintrag aus und den entsprechenden Eintrag aus .
Symbolisch folgt aus und , dass gilt. Zu jedem Ergebniseintrag gehört daher in beiden Matrizen genau ein Eintrag an derselben Position.
So werden zwei Matrizen addiert:
Angenommen, wir haben zwei Matrizen, und , wie folgt:
Beide Matrizen haben das Format , also Zeilen und Spalten. Daher können sie addiert werden.
Dann ist :
Die Matrix oben ist die Summe .
Diese beiden Matrizen haben unterschiedliche Formate:
Matrix hat das Format , Matrix dagegen das Format . Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen ist nicht definiert.
Die Matrixaddition besitzt dieselben grundlegenden Rechengesetze wie die Addition reeller Zahlen. Seien , und Matrizen desselben Formats. bezeichne die gleich große Nullmatrix, deren Einträge alle null sind.
Jede Regel lässt sich an entsprechenden Einträgen prüfen, weil die Matrixaddition an jeder Position getrennt arbeitet.
Die Reihenfolge der Matrixaddition hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Ob zu oder zu addiert wird, ändert das Ergebnis nicht.
Die Gruppierung bei der Addition von drei oder mehr Matrizen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Man kann zuerst und addieren und danach , oder zuerst und und danach . Beide Gruppierungen liefern dieselbe Matrix.
Für die Matrixaddition ist die Nullmatrix das neutrale Element.
Addiert man zu einer Matrix die gleich große Nullmatrix, bleibt die Matrix unverändert.
Diese Nullmatrix spielt bei der Addition von Zahlen eine ähnliche Rolle wie die Zahl .
Jede Matrix besitzt ein additives Inverses . Wird es zu addiert, ergibt sich die Nullmatrix .
In hat jeder Eintrag das entgegengesetzte Vorzeichen des entsprechenden Eintrags in .
Wenn beispielsweise ein Element von ist, dann ist ein Element von .
Problem 1
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
Berechne und . Entscheide anschließend, ob definiert ist, und begründe die Entscheidung.
Problem 2
Bestimme aus der folgenden Matrixgleichung die Werte von und :
Problem 3
Bestimme für die folgende Matrix das additive Inverse von und weise nach. Dabei ist die gleich große Nullmatrix.
Problem 1
Gegeben sind:
Zuerst berechnen wir plus ():
Eine negative Zahl zu addieren heißt, ihre Gegenzahl zu subtrahieren. Die Summen der entsprechenden Einträge lauten daher:
Danach vertauschen wir die Summanden und berechnen plus ():
Das bestätigt ein Beispiel des Kommutativgesetzes: . Allgemein gilt für jeden Eintrag , weil die Addition reeller Zahlen kommutativ ist.
Für plus () prüfen wir zuerst die Formate:
Die Summe ist nicht definiert. Matrix hat das Format , Matrix dagegen das Format . Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen kann nicht gebildet werden.
Problem 2
Gegeben sei die Matrixaddition:
Wir addieren zunächst die Matrizen auf der linken Seite:
Aus der Gleichheit zweier Matrizen folgt, dass die entsprechenden Einträge übereinstimmen müssen:
Für das Element in Zeile , Spalte :
Für das Element in Zeile , Spalte : (bereits konsistent).
Für das Element in Zeile , Spalte :
Für das Element in Zeile , Spalte :
Somit sind die Werte , und .
Problem 3
Die gegebene Matrix lautet:
Das additive Inverse von , also , ist:
Zur Kontrolle addieren wir :
Das Ergebnis ist die Nullmatrix im Format . Damit ist die Behauptung gezeigt.
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