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Die Matrizen und können in dieser Reihenfolge nur multipliziert werden (), wenn die Spaltenzahl von mit der Zeilenzahl von übereinstimmt.
Hat das Format , also Zeilen und Spalten, und das Format , also Zeilen und Spalten, dann stimmen die inneren Dimensionen überein.
Die Spaltenzahl der Matrix ist , die Zeilenzahl der Matrix ebenfalls . Deshalb können und in dieser Reihenfolge multipliziert werden.
Die Ergebnismatrix hat das Format . Ihre äußeren Dimensionen stammen also von den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten Matrix.
Die Formatprüfung passt in eine Zeile: Aus und folgt . Die gemeinsame innere Dimension geht in jedes Skalarprodukt ein, während die äußeren Dimensionen und das Ergebnisformat festlegen.
Für den Eintrag der Matrix , also den Eintrag in Zeile und Spalte , multipliziert man die Einträge der -ten Zeile von mit den zugehörigen Einträgen der -ten Spalte von und addiert die Produkte.
Für und lautet der Eintrag der Matrix daher:
Das Zeichen steht für eine Summe.
In der Formel werden die Produkte für alle Werte von zwischen und addiert.
Im folgenden Beispiel ist jedes Element der Matrix das Skalarprodukt einer Zeile von mit einer Spalte von .
Die beiden Matrizen lauten:
Die Matrix hat das Format , ebenso die Matrix mit . Die Spalten von passen zu den Zeilen von . Das Produkt hat deshalb das Format .
Die Elemente der Matrix werden wie folgt berechnet:
Gegeben sind zwei Matrizen:
Die Matrix hat das Format , die Matrix das Format .
Die Anzahl der Spalten in der Matrix (das ist ) ist gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix (das ist ).
Somit ist definiert und ergibt eine Matrix im Format .
Berechnen wir :
Das Ergebnis der Matrixmultiplikation ist also:
Was ist nun mit ?
Die Matrix hat das Format , die Matrix das Format .
Die Anzahl der Spalten in der Matrix (das ist ) ist nicht gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix (das ist ).
Daher ist das Produkt nicht definiert. Schon die Vertauschung der Faktoren kann also darüber entscheiden, ob ein Produkt überhaupt existiert.
Für die Matrixmultiplikation gelten die folgenden Regeln:
Im Allgemeinen nicht kommutativ:
Das bedeutet . Wir haben oben bereits ein Beispiel gesehen, bei dem definiert ist, jedoch nicht. Selbst wenn beide definiert sind, sind die Ergebnisse nicht unbedingt dieselben.
Assoziativ:
Sind alle Produkte auf beiden Seiten definiert, gilt . Die Klammerung verändert das Ergebnis nicht.
Verteilend:
Die Matrixmultiplikation ist distributiv gegenüber der Matrixaddition oder -subtraktion:
Multiplikation mit der Einheitsmatrix ():
Hat das Format , dann hat die linke Einheitsmatrix das Format und die rechte Einheitsmatrix das Format :
Multiplikation mit einem Skalar ():
Wenn ein Skalar (reelle Zahl) ist, dann:
Mit einer Matrixmultiplikation lassen sich Mengentabellen und passende Preistabellen verbinden. Die Zeilen- und Spaltenbezeichnungen legen fest, welche Größen miteinander multipliziert und addiert werden. Passende Formate allein reichen daher nicht aus.
Ein kleiner Betrieb verkauft Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips an den Standorten A, B und C.
In der Absatzmatrix stehen die Produkte in den Zeilen und die Standorte in den Spalten. Jeder Eintrag von gibt also an, wie viele Gläser eines Produkts an einem Standort verkauft wurden.
Von oben nach unten stehen die Zeilen für Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips:
Die erste Zeile () bedeutet, dass Gläser Tempeh-Chips an Standort A, an Standort B und an Standort C verkauft wurden.
Der Preis je Glas in Rupiah steht in der Spaltenmatrix mit derselben Produktreihenfolge:
Von oben nach unten stehen die Einträge für die Preise von Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips.
Das Produkt ist zwar numerisch definiert, weil beide inneren Dimensionen sind, für dieses Modell ist es aber bedeutungslos. Die Spalten von stehen für Standorte, die Zeilen von dagegen für Produkte. Diese Bezeichnungen passen nicht zusammen.
Für den Umsatz je Standort transponieren wir den Preisvektor und multiplizieren mit . Das Produkt verbindet jeden Produktpreis mit den Verkaufszahlen desselben Produkts.
Die Matrix hat das Format , die Matrix das Format . Daher hat das Format mit einem Eintrag für jeden Standort.
Damit ist .
Der Gesamtumsatz beträgt somit an Standort A, an Standort B und an Standort C.
Für den Umsatz je Produkt ist eine andere Multiplikation nötig. Zuerst summiert ein Einsvektor jede Zeile von . Anschließend werden die Summen mit der aus gebildeten diagonalen Preismatrix multipliziert.
Die Matrix enthält damit den Umsatz je Produkt: für Tempeh-Chips, für Bananenchips und für Kartoffelchips.
Es reicht also nicht, nur die Dimensionen abzugleichen. Bei einem sinnvollen Matrixprodukt müssen auch die Größen in den inneren Dimensionen dieselben Kategorien in derselben Reihenfolge beschreiben.
Hier liefern und den Ertrag je Standort in , während die diagonale Preismatrix und die Produktsummen den Ertrag je Produkt in ergeben. Das sind verschiedene Fragen und deshalb verschiedene Produkte.
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
Bestimme die Matrizen und .
Ist ?
Produkt 1
Berechnung von :
Die Matrix hat das Format , ebenso mit . Das Ergebnis hat das Format .
Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:
Produkt 2
Berechnung von :
Die Matrix hat das Format , ebenso mit . Das Ergebnis hat das Format .
Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:
Die beiden Produkte unterscheiden sich. Daher gilt , und die Matrixmultiplikation ist in diesem Beispiel nicht kommutativ.
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Dies gilt, wenn alle beteiligten Additions- und Multiplikationsoperationen definiert sind.
Die Einheitsmatrix übernimmt dieselbe Rolle wie die Zahl bei der gewöhnlichen Multiplikation.
