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Matrizen lassen sich nicht nur miteinander verknüpfen, sondern auch mit einer einzigen Zahl skalieren. Eine solche Zahl heißt Skalar.
Sind beispielsweise alle Einträge einer Messmatrix in Metern angegeben, werden beim Umrechnen der gesamten Tabelle in Zentimeter alle Einträge mit multipliziert. Die Skalarmultiplikation beschreibt diese einheitliche Änderung, ohne jede Rechnung einzeln neu anzusetzen.
Bei der Skalarmultiplikation wird jeder Eintrag einer Matrix mit einem Skalar multipliziert.
Für eine Matrix und einen Skalar bezeichnet mal , geschrieben als , die Matrix, deren Einträge aus den entsprechenden Einträgen von mal entstehen.
Hat das Format :
Dann ist die Multiplikation der Matrix mit dem Skalar :
Die Ergebnismatrix hat dasselbe Format wie .
Für eine positive ganze Zahl kann man die Skalarmultiplikation als wiederholte Addition deuten. So ist dasselbe wie . Addiert man genau , erhält man .
Zwei Beispiele zeigen die Rechnung Schritt für Schritt.
Beispiel :
Gegeben ist die Matrix :
Bestimme .
Lösung:
Um zu berechnen, multiplizieren wir jedes Element der Matrix mit dem Skalar .
Das Ergebnis von ist also .
Beispiel :
Gegeben sind die Matrix und der Skalar . Bestimme .
Lösung:
Wir multiplizieren jeden Eintrag von mit .
Also .
Für Matrizen und desselben Formats, Skalare und sowie die Nullmatrix gelten folgende Rechenregeln.
Distributiv über Matrixaddition:
Multipliziert man einen Skalar mit einer Summe von Matrizen, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarprodukte.
Distributiv über Skalaraddition:
Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einer Matrix, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarmultiplikationen.
Assoziativ mit Skalarmultiplikation:
Das Produkt der beiden Skalare kann zuerst berechnet werden. Alternativ wird die Matrix nacheinander mit beiden Skalaren multipliziert.
Skalare Multiplikationsidentität:
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar verändert die Matrix nicht.
Multiplikation mit Nullskalar:
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar führt zur Nullmatrix (), einer Matrix, in der alle Elemente sind.
Multiplikation der Nullmatrix mit einem Skalar:
Die Multiplikation der Nullmatrix mit einem beliebigen Skalar ergibt die Nullmatrix.
Multiplikation mit Skalar :
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar ergibt ihre Gegenmatrix.
Diese Eigenschaften tragen dazu bei, Berechnungen zu vereinfachen und ein tieferes Verständnis der Matrixalgebra zu ermöglichen.
Lösung:
Lösung:
Zum Nachweis von berechnen wir beide Seiten:
Zunächst berechnen wir die linke Seite, .
Dann,
Anschließend folgt die rechte Seite, .
Dann,
Da das Ergebnis der Berechnung auf der linken Seite () das gleiche ist wie das Ergebnis der Berechnung auf der rechten Seite (), ist bewiesen, dass .
