Skalarmultiplikation von Matrizen

Alle Matrixeinträge mit derselben Zahl skalieren

Matrizen lassen sich miteinander verknüpfen oder mit einer einzigen Zahl skalieren. Eine solche Zahl heißt $Skalar$ .

Sind beispielsweise alle Einträge einer Messmatrix in Metern angegeben, werden beim Umrechnen der gesamten Tabelle in Zentimeter alle Einträge mit $100$ multipliziert. Die Skalarmultiplikation beschreibt diese einheitliche Änderung, ohne jede Rechnung einzeln neu anzusetzen.

Die Ergebnismatrix elementweise aufschreiben

Bei der Skalarmultiplikation wird $jeder Eintrag einer Matrix mit einem Skalar multipliziert$ .

Für eine Matrix $A$ und einen Skalar $k$ bezeichnet $k$ mal $A$ , geschrieben als $kA$ , die Matrix, deren Einträge aus den entsprechenden Einträgen von $A$ mal $k$ entstehen.

Hat $A$ das Format $m \times n$ :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

Dann ist die Multiplikation der Matrix $A$ mit dem Skalar $k$ :

\begin{aligned} &kA \\ &= k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} \end{aligned}

Die Ergebnismatrix $kA$ hat dasselbe Format wie $A$ .

Für eine positive ganze Zahl $k$ kann man die Skalarmultiplikation als wiederholte Addition deuten. So ist $2A$ dasselbe wie $A + A$ . Addiert man $A$ genau $k\text{-mal}$ , erhält man $kA$ .

\underbrace{A + A + \cdots + A}_{k\text{-mal}} = kA

Beispiele zur Skalarmultiplikation

Zwei Beispiele zeigen die Rechnung Schritt für Schritt.

$Beispiel 1$ :

Gegeben ist die Matrix $P$ :

P = \begin{bmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}

Bestimme $2P$ .

$Lösung$ :

Um $2P$ zu berechnen, multiplizieren wir jedes Element der Matrix $P$ mit dem Skalar $2$ .

\begin{aligned} 2P &= 2 \begin{bmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 9 & 2 \times 7 \\ 2 \times 3 & 2 \times 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 18 & 14 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

Die Matrix oben ist das Ergebnis von $2P$ .

$Beispiel 2$ :

Gegeben ist die folgende Matrix:

Q = \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}

Bestimme $4Q$ für den Skalar $k=4$ .

$Lösung$ :

Wir multiplizieren jeden Eintrag von $Q$ mit $4$ .

4Q = 4 \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}

Schreibe die Produkte mit Klammern: $4(a)$ bedeutet $4\times a$ .

=\begin{bmatrix}4(-1)&4(\frac12)&4(1)\\4(4)&4(-\frac14)&4(2)\\4(-6)&4(1)&4(-4)\end{bmatrix}

Die Matrix oben ist das Ergebnis von $4Q$ .

Eigenschaften der Skalarmultiplikation von Matrizen

Für Matrizen $A$ und $B$ $desselben Formats$ , Skalare $h$ und $k$ sowie die Nullmatrix $O$ gelten folgende Rechenregeln.

Eigenschaft	Identität	Bedeutung
Distributiv über Matrixaddition	$k(A + B) = kA + kB$	Multipliziert man einen Skalar mit einer Summe von Matrizen, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarprodukte.
Distributiv über Skalaraddition	$(h + k)A = hA + kA$	Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einer Matrix, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarmultiplikationen.
Assoziativ mit Skalarmultiplikation	$(hk)A = h(kA) = k(hA)$	Das Produkt der beiden Skalare kann zuerst berechnet werden. Alternativ wird die Matrix nacheinander mit beiden Skalaren multipliziert.
Skalare Multiplikationsidentität	$1A = A$	Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $1$ verändert die Matrix nicht.
Multiplikation mit Nullskalar	$0A = O$	Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $0$ führt zur Nullmatrix ( $O$ ), einer Matrix, in der alle Elemente $0$ sind.
Multiplikation der Nullmatrix mit einem Skalar	$kO = O$	Die Multiplikation der Nullmatrix mit einem beliebigen Skalar ergibt die Nullmatrix.
Multiplikation mit Skalar $-1$	$(-1)A = -A$	Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $-1$ ergibt ihre Gegenmatrix.

Die Distributivgesetze zerlegen Produkte über Summen, während die Identitäts- und Nullregeln das Ergebnis für die Skalare $1$ und $0$ direkt festlegen.

Übungen

Jede Aufgabe unten verlangt ein skalares Vielfaches einer Matrix. Multipliziere jeden Eintrag mit dem Skalar, $auch die negativen Einträge und die Nullen$ , und behalte die Form der Matrix bei.

Berechne $3X$ für die folgende Matrix.

$X = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$
Bestimme $\frac{1}{10}Y$ für die folgende Matrix.

$Y = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$
Zeige für die folgenden Matrizen, dass $3(A+B) = 3A + 3B$ gilt.
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

Ausführliche Lösungen

Lösung:
$3X = 3 \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$
Lösung:
$\frac{1}{10}Y = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$
Zum Nachweis von $3(A+B) = 3A + 3B$ berechnen wir beide Seiten:

Zunächst berechnen wir die $linke Seite$ , $3(A+B)$ .

$\begin{aligned} A+B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+0 & 1+5 \\ 3+6 & 4+(-2) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$

Dann,

$3(A+B) = 3 \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$

Anschließend folgt die rechte Seite, $3A + 3B$ .
$3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$
Dann,

$\begin{aligned} &3A + 3B \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6+0 & 3+15 \\ 9+18 & 12+(-6) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}$

Beide Rechnungen ergeben dieselbe Matrix. Damit gilt $3(A+B) = 3A + 3B$ .

Alle Matrixeinträge mit derselben Zahl skalieren

Matrizen lassen sich miteinander verknüpfen oder mit einer einzigen Zahl skalieren. Eine solche Zahl heißt $Skalar$ .

Die Ergebnismatrix elementweise aufschreiben

Bei der Skalarmultiplikation wird $jeder Eintrag einer Matrix mit einem Skalar multipliziert$ .

Für eine Matrix $A$ und einen Skalar $k$ bezeichnet $k$ mal $A$ , geschrieben als $kA$ , die Matrix, deren Einträge aus den entsprechenden Einträgen von $A$ mal $k$ entstehen.

Hat $A$ das Format $m \times n$ :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

Dann ist die Multiplikation der Matrix $A$ mit dem Skalar $k$ :

\begin{aligned} &kA \\ &= k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} \end{aligned}

Die Ergebnismatrix $kA$ hat dasselbe Format wie $A$ .

Für eine positive ganze Zahl $k$ kann man die Skalarmultiplikation als wiederholte Addition deuten. So ist $2A$ dasselbe wie $A + A$ . Addiert man $A$ genau $k\text{-mal}$ , erhält man $kA$ .

\underbrace{A + A + \cdots + A}_{k\text{-mal}} = kA

Beispiele zur Skalarmultiplikation

Zwei Beispiele zeigen die Rechnung Schritt für Schritt.

$Beispiel 1$ :

Gegeben ist die Matrix $P$ :

P = \begin{bmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}

Bestimme $2P$ .

$Lösung$ :

Um $2P$ zu berechnen, multiplizieren wir jedes Element der Matrix $P$ mit dem Skalar $2$ .

\begin{aligned} 2P &= 2 \begin{bmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 9 & 2 \times 7 \\ 2 \times 3 & 2 \times 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 18 & 14 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

Die Matrix oben ist das Ergebnis von $2P$ .

$Beispiel 2$ :

Gegeben ist die folgende Matrix:

Q = \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}

Bestimme $4Q$ für den Skalar $k=4$ .

$Lösung$ :

Wir multiplizieren jeden Eintrag von $Q$ mit $4$ .

4Q = 4 \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}

Schreibe die Produkte mit Klammern: $4(a)$ bedeutet $4\times a$ .

=\begin{bmatrix}4(-1)&4(\frac12)&4(1)\\4(4)&4(-\frac14)&4(2)\\4(-6)&4(1)&4(-4)\end{bmatrix}

Die Matrix oben ist das Ergebnis von $4Q$ .

Eigenschaften der Skalarmultiplikation von Matrizen

Für Matrizen $A$ und $B$ $desselben Formats$ , Skalare $h$ und $k$ sowie die Nullmatrix $O$ gelten folgende Rechenregeln.

Eigenschaft	Identität	Bedeutung
Distributiv über Matrixaddition	$k(A + B) = kA + kB$	Multipliziert man einen Skalar mit einer Summe von Matrizen, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarprodukte.
Distributiv über Skalaraddition	$(h + k)A = hA + kA$	Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einer Matrix, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarmultiplikationen.
Assoziativ mit Skalarmultiplikation	$(hk)A = h(kA) = k(hA)$	Das Produkt der beiden Skalare kann zuerst berechnet werden. Alternativ wird die Matrix nacheinander mit beiden Skalaren multipliziert.
Skalare Multiplikationsidentität	$1A = A$	Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $1$ verändert die Matrix nicht.
Multiplikation mit Nullskalar	$0A = O$	Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $0$ führt zur Nullmatrix ( $O$ ), einer Matrix, in der alle Elemente $0$ sind.
Multiplikation der Nullmatrix mit einem Skalar	$kO = O$	Die Multiplikation der Nullmatrix mit einem beliebigen Skalar ergibt die Nullmatrix.
Multiplikation mit Skalar $-1$	$(-1)A = -A$	Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $-1$ ergibt ihre Gegenmatrix.

Die Distributivgesetze zerlegen Produkte über Summen, während die Identitäts- und Nullregeln das Ergebnis für die Skalare $1$ und $0$ direkt festlegen.

Übungen

Jede Aufgabe unten verlangt ein skalares Vielfaches einer Matrix. Multipliziere jeden Eintrag mit dem Skalar, $auch die negativen Einträge und die Nullen$ , und behalte die Form der Matrix bei.

Berechne $3X$ für die folgende Matrix.

$X = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$
Bestimme $\frac{1}{10}Y$ für die folgende Matrix.

$Y = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$
Zeige für die folgenden Matrizen, dass $3(A+B) = 3A + 3B$ gilt.
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

Ausführliche Lösungen

Lösung:
$3X = 3 \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$
Lösung:
$\frac{1}{10}Y = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$
Zum Nachweis von $3(A+B) = 3A + 3B$ berechnen wir beide Seiten:

Zunächst berechnen wir die $linke Seite$ , $3(A+B)$ .

$\begin{aligned} A+B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+0 & 1+5 \\ 3+6 & 4+(-2) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$

Dann,

$3(A+B) = 3 \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$

Anschließend folgt die rechte Seite, $3A + 3B$ .
$3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$
Dann,

$\begin{aligned} &3A + 3B \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6+0 & 3+15 \\ 9+18 & 12+(-6) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}$

Beide Rechnungen ergeben dieselbe Matrix. Damit gilt $3(A+B) = 3A + 3B$ .