Matrixmultiplikation

Zeilen der ersten Matrix mit Spalten der zweiten kombinieren

Bei der Matrixaddition werden Einträge an derselben Position verrechnet. Die Matrixmultiplikation funktioniert anders: $Jede Zeile der ersten Matrix$ wird mit jeder Spalte der zweiten Matrix kombiniert.

Bedingung für die Matrixmultiplikation

Die Matrizen $A$ und $B$ können in dieser Reihenfolge nur multipliziert werden ( $A \times B$ ), wenn $A$ .

Hat $A$ das Format $m \times n$ , also $m$ Zeilen und $n$ Spalten, und $B$ das Format $n \times p$ , also $n$ Zeilen und $p$ Spalten, dann stimmen die inneren Dimensionen überein.

Die Spaltenzahl der Matrix $A$ ist $n$ , die Zeilenzahl der Matrix $B$ ebenfalls $n$ . Deshalb können $A$ und $B$ in dieser Reihenfolge multipliziert werden.

Die Ergebnismatrix $C = AB$ hat das Format $m \times p$ . Ihre äußeren Dimensionen stammen also von den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten Matrix.

Die Formatprüfung passt in eine Zeile: Aus $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ und $B\in\mathbb{R}^{n\times p}$ folgt $AB\in\mathbb{R}^{m\times p}$ . Die gemeinsame innere Dimension $n$ geht in jedes Skalarprodukt ein, während die äußeren Dimensionen $m$ und $p$ das Ergebnisformat festlegen.

Einträge der Ergebnismatrix berechnen

Für den Eintrag $c_{ij}$ der Matrix $C$ , also den Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ , multipliziert man die Einträge der $i$ -ten Zeile von $A$ mit den zugehörigen Einträgen der $j$ -ten Spalte von $B$ und $addiert die Produkte$ .

Für $A = [a_{ik}]$ und $B = [b_{kj}]$ lautet der Eintrag $c_{ij}$ der Matrix $C = AB$ daher:

\begin{aligned} c_{ij} &= \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj} \end{aligned}

Das Zeichen $\sum$ steht für eine Summe.

In der Formel werden die Produkte $a_{ik}b_{kj}$ für alle Werte von $k$ zwischen $1$ und $n$ addiert.

Schritte zum Multiplizieren von Matrizen

Im folgenden Beispiel ist jedes Element der Matrix $R$ das $Skalarprodukt$ einer Zeile von $P$ mit einer Spalte von $Q$ .

Die beiden Matrizen lauten:

P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}

Die Matrix $P$ hat das Format $2 \times 2$ , ebenso die Matrix $Q$ mit $2 \times 2$ . Die $2$ Spalten von $P$ passen zu den $2$ Zeilen von $Q$ . Das Produkt $R = PQ$ hat deshalb das Format $2 \times 2$ .

R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}

Die Elemente der Matrix $R$ werden wie folgt berechnet:

\begin{aligned} r_{11} &= (\text{Zeile 1 von } P) \\ &\quad\cdot (\text{Spalte 1 von } Q) \\ &= p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21} \end{aligned}

Beispiel für die Multiplikation zweier Matrizen

Gegeben sind zwei Matrizen:

A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}

Die Matrix $A$ hat das Format $3 \times 3$ , die Matrix $B$ das Format $3 \times 2$ .

Die Anzahl der Spalten in der Matrix $A$ (das ist $3$ ) ist gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix $B$ (das ist $3$ ).

Somit ist $AB$ definiert und ergibt eine Matrix im Format $3 \times 2$ .

Berechnen wir $C = AB$ :

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}

Das Ergebnis der Matrixmultiplikation $AB$ ist also:

AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}

Was ist nun mit $BA$ ?

Die Matrix $B$ hat das Format $3 \times 2$ , die Matrix $A$ das Format $3 \times 3$ .

Die Anzahl der Spalten in der Matrix $B$ (das ist $2$ ) ist $nicht gleich$ der Anzahl der Zeilen in der Matrix $A$ (das ist $3$ ).

Daher ist das Produkt $BA$ $nicht definiert$ . Schon die Vertauschung der Faktoren kann also darüber entscheiden, ob ein Produkt überhaupt existiert.

Eigenschaften der Matrixmultiplikation

Für die Matrixmultiplikation gelten die folgenden Regeln:

$Im Allgemeinen nicht kommutativ$ :

Das bedeutet $AB \neq BA$ . Wir haben oben bereits ein Beispiel gesehen, bei dem $AB$ definiert ist, $BA$ jedoch nicht. Selbst wenn beide definiert sind, sind die Ergebnisse nicht unbedingt dieselben.
$Assoziativ$ :

Sind alle Produkte auf beiden Seiten definiert, gilt $(AB)C = A(BC)$ . Die Klammerung verändert das Ergebnis nicht.
$Verteilend$ :

Die Matrixmultiplikation ist distributiv gegenüber der Matrixaddition oder -subtraktion:
$A(B + C) = AB + AC$
Dies gilt, wenn alle beteiligten Additions- und Multiplikationsoperationen definiert sind.
$I$ :

Hat $A$ das Format $m \times n$ , dann hat die linke Einheitsmatrix $I_m$ das Format $m \times m$ und die rechte Einheitsmatrix $I_n$ das Format $n \times n$ :

$I_mA=A=AI_n$

Die Einheitsmatrix übernimmt dieselbe Rolle wie die Zahl $1$ bei der gewöhnlichen Multiplikation.
$k$ :

Wenn $k$ ein Skalar (reelle Zahl) ist, dann:

$k(AB) = (kA)B = A(kB)$

Ertragsberechnung

Mit einer Matrixmultiplikation lassen sich Mengentabellen und passende Preistabellen verbinden. $Die Zeilen- und Spaltenbezeichnungen$ legen fest, welche Größen miteinander multipliziert und addiert werden. Passende Formate allein reichen daher nicht aus.

Ein kleiner Betrieb verkauft Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips an den Standorten A, B und C.

In der Absatzmatrix $P$ stehen die Produkte in den Zeilen und die Standorte in den Spalten. Jeder Eintrag von $P$ gibt also an, wie viele Gläser eines Produkts an einem Standort verkauft wurden.

Von oben nach unten stehen die Zeilen für Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips:

P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}

Die erste Zeile ( $\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}$ ) bedeutet, dass $15$ Gläser Tempeh-Chips an Standort A, $12$ an Standort B und $20$ an Standort C verkauft wurden.

Der Preis je Glas in Rupiah steht in der Spaltenmatrix $Q$ mit derselben Produktreihenfolge:

Q = \begin{bmatrix} 20{.}000 \\ 15{.}000 \\ 30{.}000 \end{bmatrix}

Von oben nach unten stehen die Einträge für die Preise von Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips.

Das Produkt $PQ$ ist zwar numerisch definiert, weil beide inneren Dimensionen $3$ sind, für dieses Modell ist es aber bedeutungslos. Die Spalten von $P$ stehen für Standorte, die Zeilen von $Q$ dagegen für Produkte. Diese Bezeichnungen passen nicht zusammen.

Umsatz je Standort

Für den Umsatz je Standort transponieren wir den Preisvektor und multiplizieren $Q^T$ mit $P$ . Das Produkt $S = Q^T P$ verbindet jeden Produktpreis mit den Verkaufszahlen $desselben Produkts$ .

Die Matrix $Q^T$ hat das Format $1 \times 3$ , die Matrix $P$ das Format $3 \times 3$ . Daher hat $S$ das Format $1 \times 3$ mit einem Eintrag für jeden Standort.

\begin{aligned} S &= \begin{bmatrix} 20{.}000 & 15{.}000 & 30{.}000 \end{bmatrix} \\ &\quad{}\cdot\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \end{aligned}

Damit ist $S = \begin{bmatrix} 1{.}125{.}000 & 840{.}000 & 1{.}225{.}000 \end{bmatrix}$ .

Der Gesamtumsatz beträgt somit $\text{Rp }1{.}125{.}000$ an Standort A, $\text{Rp }840{.}000$ an Standort B und $\text{Rp }1{.}225{.}000$ an Standort C.

Umsatz je Produkt

Für den Umsatz je Produkt ist eine andere Multiplikation nötig. Zuerst summiert ein Einsvektor $U$ jede Zeile von $P$ . Anschließend werden die Summen mit der aus $Q$ gebildeten diagonalen Preismatrix multipliziert.

U = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Die Matrix $R$ enthält damit den Umsatz je Produkt: $\text{Rp }940{.}000$ für Tempeh-Chips, $\text{Rp }750{.}000$ für Bananenchips und $\text{Rp }1{.}500{.}000$ für Kartoffelchips.

Es reicht also nicht, nur die Dimensionen abzugleichen. Bei einem sinnvollen Matrixprodukt müssen auch die Größen in den inneren Dimensionen $dieselben Kategorien in derselben Reihenfolge$ beschreiben.

Hier liefern $Q^T$ und $P$ den Ertrag je Standort in $S$ , während die diagonale Preismatrix und die Produktsummen den Ertrag je Produkt in $R$ ergeben. Das sind verschiedene Fragen und deshalb verschiedene Produkte.

Übungen

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

$Bestimme$ die Matrizen $CD$ und $DC$ .

Ist $CD = DC$ ?

Ausführliche Lösungen

$Produkt 1$

Berechnung von $CD$ :

Die Matrix $C$ hat das Format $2 \times 2$ , ebenso $D$ mit $2 \times 2$ . Das Ergebnis hat das Format $2 \times 2$ .

CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(1)(1) + (-3)(8) \\ &m_{12}=(1)(-4) + (-3)(2) \\ &m_{21}=(1)(1) + (2)(8) \\ &m_{22}=(1)(-4) + (2)(2) \end{aligned}

$Produkt 2$

Berechnung von $DC$ :

Die Matrix $D$ hat das Format $2 \times 2$ , ebenso $C$ mit $2 \times 2$ . Das Ergebnis hat das Format $2 \times 2$ .

DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(1)(1) + (-4)(1) \\ &m_{12}=(1)(-3) + (-4)(2) \\ &m_{21}=(8)(1) + (2)(1) \\ &m_{22}=(8)(-3) + (2)(2) \end{aligned}

Die beiden Produkte unterscheiden sich. Daher gilt $CD \neq DC$ , und die Matrixmultiplikation ist in diesem Beispiel nicht kommutativ.

Zeilen der ersten Matrix mit Spalten der zweiten kombinieren

Bedingung für die Matrixmultiplikation

Die Matrizen $A$ und $B$ können in dieser Reihenfolge nur multipliziert werden ( $A \times B$ ), wenn $A$ .

Hat $A$ das Format $m \times n$ , also $m$ Zeilen und $n$ Spalten, und $B$ das Format $n \times p$ , also $n$ Zeilen und $p$ Spalten, dann stimmen die inneren Dimensionen überein.

Die Spaltenzahl der Matrix $A$ ist $n$ , die Zeilenzahl der Matrix $B$ ebenfalls $n$ . Deshalb können $A$ und $B$ in dieser Reihenfolge multipliziert werden.

Die Ergebnismatrix $C = AB$ hat das Format $m \times p$ . Ihre äußeren Dimensionen stammen also von den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten Matrix.

Einträge der Ergebnismatrix berechnen

Für $A = [a_{ik}]$ und $B = [b_{kj}]$ lautet der Eintrag $c_{ij}$ der Matrix $C = AB$ daher:

\begin{aligned} c_{ij} &= \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj} \end{aligned}

Das Zeichen $\sum$ steht für eine Summe.

In der Formel werden die Produkte $a_{ik}b_{kj}$ für alle Werte von $k$ zwischen $1$ und $n$ addiert.

Schritte zum Multiplizieren von Matrizen

Im folgenden Beispiel ist jedes Element der Matrix $R$ das $Skalarprodukt$ einer Zeile von $P$ mit einer Spalte von $Q$ .

Die beiden Matrizen lauten:

P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}

R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}

Die Elemente der Matrix $R$ werden wie folgt berechnet:

\begin{aligned} r_{11} &= (\text{Zeile 1 von } P) \\ &\quad\cdot (\text{Spalte 1 von } Q) \\ &= p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21} \end{aligned}

Beispiel für die Multiplikation zweier Matrizen

Gegeben sind zwei Matrizen:

A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}

Die Matrix $A$ hat das Format $3 \times 3$ , die Matrix $B$ das Format $3 \times 2$ .

Die Anzahl der Spalten in der Matrix $A$ (das ist $3$ ) ist gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix $B$ (das ist $3$ ).

Somit ist $AB$ definiert und ergibt eine Matrix im Format $3 \times 2$ .

Berechnen wir $C = AB$ :

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}

Das Ergebnis der Matrixmultiplikation $AB$ ist also:

AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}

Was ist nun mit $BA$ ?

Die Matrix $B$ hat das Format $3 \times 2$ , die Matrix $A$ das Format $3 \times 3$ .

Die Anzahl der Spalten in der Matrix $B$ (das ist $2$ ) ist $nicht gleich$ der Anzahl der Zeilen in der Matrix $A$ (das ist $3$ ).

Daher ist das Produkt $BA$ $nicht definiert$ . Schon die Vertauschung der Faktoren kann also darüber entscheiden, ob ein Produkt überhaupt existiert.

Eigenschaften der Matrixmultiplikation

Für die Matrixmultiplikation gelten die folgenden Regeln:

$Im Allgemeinen nicht kommutativ$ :

Das bedeutet $AB \neq BA$ . Wir haben oben bereits ein Beispiel gesehen, bei dem $AB$ definiert ist, $BA$ jedoch nicht. Selbst wenn beide definiert sind, sind die Ergebnisse nicht unbedingt dieselben.
$Assoziativ$ :

Sind alle Produkte auf beiden Seiten definiert, gilt $(AB)C = A(BC)$ . Die Klammerung verändert das Ergebnis nicht.
$Verteilend$ :

Die Matrixmultiplikation ist distributiv gegenüber der Matrixaddition oder -subtraktion:
$A(B + C) = AB + AC$
Dies gilt, wenn alle beteiligten Additions- und Multiplikationsoperationen definiert sind.
$I$ :

Hat $A$ das Format $m \times n$ , dann hat die linke Einheitsmatrix $I_m$ das Format $m \times m$ und die rechte Einheitsmatrix $I_n$ das Format $n \times n$ :

$I_mA=A=AI_n$

Die Einheitsmatrix übernimmt dieselbe Rolle wie die Zahl $1$ bei der gewöhnlichen Multiplikation.
$k$ :

Wenn $k$ ein Skalar (reelle Zahl) ist, dann:

$k(AB) = (kA)B = A(kB)$

Ertragsberechnung

Ein kleiner Betrieb verkauft Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips an den Standorten A, B und C.

In der Absatzmatrix $P$ stehen die Produkte in den Zeilen und die Standorte in den Spalten. Jeder Eintrag von $P$ gibt also an, wie viele Gläser eines Produkts an einem Standort verkauft wurden.

Von oben nach unten stehen die Zeilen für Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips:

P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}

Die erste Zeile ( $\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}$ ) bedeutet, dass $15$ Gläser Tempeh-Chips an Standort A, $12$ an Standort B und $20$ an Standort C verkauft wurden.

Der Preis je Glas in Rupiah steht in der Spaltenmatrix $Q$ mit derselben Produktreihenfolge:

Q = \begin{bmatrix} 20{.}000 \\ 15{.}000 \\ 30{.}000 \end{bmatrix}

Von oben nach unten stehen die Einträge für die Preise von Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips.

Umsatz je Standort

Für den Umsatz je Standort transponieren wir den Preisvektor und multiplizieren $Q^T$ mit $P$ . Das Produkt $S = Q^T P$ verbindet jeden Produktpreis mit den Verkaufszahlen $desselben Produkts$ .

Die Matrix $Q^T$ hat das Format $1 \times 3$ , die Matrix $P$ das Format $3 \times 3$ . Daher hat $S$ das Format $1 \times 3$ mit einem Eintrag für jeden Standort.

\begin{aligned} S &= \begin{bmatrix} 20{.}000 & 15{.}000 & 30{.}000 \end{bmatrix} \\ &\quad{}\cdot\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \end{aligned}

Damit ist $S = \begin{bmatrix} 1{.}125{.}000 & 840{.}000 & 1{.}225{.}000 \end{bmatrix}$ .

Der Gesamtumsatz beträgt somit $\text{Rp }1{.}125{.}000$ an Standort A, $\text{Rp }840{.}000$ an Standort B und $\text{Rp }1{.}225{.}000$ an Standort C.

Umsatz je Produkt

U = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Die Matrix $R$ enthält damit den Umsatz je Produkt: $\text{Rp }940{.}000$ für Tempeh-Chips, $\text{Rp }750{.}000$ für Bananenchips und $\text{Rp }1{.}500{.}000$ für Kartoffelchips.

Übungen

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

$Bestimme$ die Matrizen $CD$ und $DC$ .

Ist $CD = DC$ ?

Ausführliche Lösungen

$Produkt 1$

Berechnung von $CD$ :

Die Matrix $C$ hat das Format $2 \times 2$ , ebenso $D$ mit $2 \times 2$ . Das Ergebnis hat das Format $2 \times 2$ .

CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(1)(1) + (-3)(8) \\ &m_{12}=(1)(-4) + (-3)(2) \\ &m_{21}=(1)(1) + (2)(8) \\ &m_{22}=(1)(-4) + (2)(2) \end{aligned}

$Produkt 2$

Berechnung von $DC$ :

Die Matrix $D$ hat das Format $2 \times 2$ , ebenso $C$ mit $2 \times 2$ . Das Ergebnis hat das Format $2 \times 2$ .

DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(1)(1) + (-4)(1) \\ &m_{12}=(1)(-3) + (-4)(2) \\ &m_{21}=(8)(1) + (2)(1) \\ &m_{22}=(8)(-3) + (2)(2) \end{aligned}

Die beiden Produkte unterscheiden sich. Daher gilt $CD \neq DC$ , und die Matrixmultiplikation ist in diesem Beispiel nicht kommutativ.