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Das Ergebnis ist eine Matrix desselben Formats. Jeder ihrer Einträge entsteht aus der Differenz der Einträge an derselben Position.
Die Matrixsubtraktion lässt sich auf zwei gleichwertige Arten beschreiben.
Subtraktion als Addition der Gegenmatrix
Die Subtraktion der Matrix von lässt sich als Addition der Gegenmatrix schreiben: .
Die Matrix entsteht, indem man jeden Eintrag von mit multipliziert. Aus wird daher .
Subtraktion entsprechender Elemente
Haben die Matrizen und beide das Format , dann hat auch ihre Differenz das Format .
Jeder Eintrag der Matrix entsteht, indem man den Eintrag von vom Eintrag von an derselben Position abzieht:
Es werden also nur Einträge aus derselben Zeile und Spalte miteinander verrechnet.
Beide Definitionen sind gleichwertig und erzeugen dieselbe Differenzmatrix.
Die Rechnung folgt drei Schritten:
Betrachten wir die beiden Matrizen und :
Beide haben das Format und können daher subtrahiert werden.
Zuerst subtrahieren wir die zugehörigen Einträge:
Dasselbe Ergebnis erhält man durch Addition der Gegenmatrix ():
Zunächst bestimmen wir :
Anschließend addieren wir und :
Beide Methoden ergeben die gleiche Matrix.
Diese beiden Matrizen haben nicht dasselbe Format:
Die Matrix hat das Format , die Matrix dagegen . Wegen der unterschiedlichen Formate sind sowohl als auch nicht definiert.
Die Matrixaddition ist kommutativ und assoziativ, die Matrixsubtraktion besitzt dagegen im Allgemeinen keine dieser beiden Eigenschaften.
Achte auf das Minuszeichen vor einer Matrix. Es gilt für jeden Eintrag. Durch Vertauschen der Reihenfolge oder Auflösen der Klammern können andere Einträge subtrahiert werden.
Die Reihenfolge der Matrizen beeinflusst das Ergebnis. Im Allgemeinen ist nicht gleich , außer in Sonderfällen wie .
Im Allgemeinen:
Für die Matrizen und aus dem Beispiel gilt:
In umgekehrter Reihenfolge ergibt sich:
Daher gilt .
Auch die Klammerung verändert das Ergebnis. Im Allgemeinen ist nicht gleich .
Im Allgemeinen:
Dies liegt daran, dass , wohingegen .
Entscheidend ist deshalb die Beziehung zur Addition: .
Schreibt man die Subtraktion als Addition der Gegenmatrix, lassen sich die bekannten Additionsregeln anwenden.
Problem 1
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
Bestimme .
Problem 2
Bestimme und aus der folgenden Matrixgleichung:
Problem 3
Gegeben sind drei Matrizen:
Berechne und . Sind die Ergebnisse gleich?
Problem 1
Gegeben:
Dann ist :
Problem 2
Gegeben sei die Matrixgleichung:
Auf der linken Seite wird eintragsweise subtrahiert:
Aus der Gleichheit zweier Matrizen folgt, dass die entsprechenden Einträge übereinstimmen müssen:
Aus dem Element in Zeile , Spalte :
Aus dem Element in Zeile , Spalte :
Aus dem Element in Zeile , Spalte :
Aus dem Element in Zeile , Spalte : .
Setzt man aus der ersten Gleichung ein, erhält man .
Der gemeinsame Wert unten rechts bestätigt damit den Wert von , statt eine weitere Unbekannte zu liefern.
Die Lösung lautet also , und .
Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung lassen sich alle vier zugehörigen Einträge überprüfen.
Problem 3
Gegeben:
Berechne zuerst :
Zuerst :
Dann :
Berechne danach :
Zuerst :
Dann :
Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich: .
Die Matrixsubtraktion ist daher nicht assoziativ.
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