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Für eine -Matrix gilt:
Ihre Determinante oder wird so berechnet:
Wir ziehen also das Produkt der Gegendiagonale () vom Produkt der Hauptdiagonale () ab. Die Sarrus-Methode überträgt dieses Vorzeichenmuster auf -Matrizen.
Wir beginnen mit einer -Matrix :
Das Element steht in der -ten Zeile und -ten Spalte.
Schritt 1: Die ersten beiden Spalten wiederholen
Wir schreiben die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts neben die dritte Spalte:
Dadurch werden die sechs Diagonalen sichtbar, deren Elemente wir multiplizieren.
Schritt 2: Produkte der positiven Diagonalen addieren
Wir multiplizieren die Elemente auf den drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und addieren die Produkte. Diese Summe nennen wir .
Der erste Term ist das Produkt der Hauptdiagonale. Der zweite und dritte Term sind Produkte paralleler Diagonalen mit Elementen aus den kopierten Spalten.
Schritt 3: Produkte der negativen Diagonalen addieren
Danach multiplizieren wir die Elemente auf den drei Diagonalen von rechts oben nach links unten und addieren diese Produkte. Die Summe heißt .
Der erste Term ist das Produkt der Gegendiagonale. Der zweite und dritte Term stammen von den parallelen Diagonalen, die durch die wiederholten Spalten entstehen.
Schritt 4: Die Determinante bilden
Die Determinante der Matrix , , ist die Differenz zwischen und :
Wir setzen und ein:
Nach dem Auflösen der Klammer erhalten wir:
Berechne die Determinante der Matrix :
Wir halten die beiden Diagonalsummen bis zur letzten Subtraktion getrennt. So lässt sich das Vorzeichen leichter prüfen:
Die Determinante ist . Eine Kofaktorentwicklung derselben Matrix liefert denselben Wert und bestätigt die Rechnung unabhängig.
Die Sarrus-Methode gilt nur für -Matrizen. Die Rechnung für oben erinnert lediglich an das Vorzeichenmuster der Diagonalen. Für größere Matrizen, etwa eine -Matrix, verwenden wir die Kofaktorentwicklung oder eine Zeilenreduktion.
Berechne mit der Sarrus-Methode die Determinante von:
Positive und negative Diagonalen beziehen sich auf das Vorzeichen in der Formel, nicht auf das Vorzeichen ihrer Produkte. Hier ist die positive Diagonalsumme negativ, weil einige Matrixeinträge negativ sind.
Berechne zuerst beide Diagonalsummen und ziehe dann die negative von der positiven Diagonalsumme ab:
Damit gilt .
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