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Bei der Skalarmultiplikation wird jeder Eintrag einer Matrix mit einem Skalar multipliziert.
Für eine Matrix und einen Skalar bezeichnet mal , geschrieben als , die Matrix, deren Einträge aus den entsprechenden Einträgen von mal entstehen.
Hat das Format :
Dann ist die Multiplikation der Matrix mit dem Skalar :
Die Ergebnismatrix hat dasselbe Format wie .
Für eine positive ganze Zahl kann man die Skalarmultiplikation als wiederholte Addition deuten. So ist dasselbe wie . Addiert man genau , erhält man .
Zwei Beispiele zeigen die Rechnung Schritt für Schritt.
Beispiel 1:
Gegeben ist die Matrix :
Bestimme .
Lösung:
Um zu berechnen, multiplizieren wir jedes Element der Matrix mit dem Skalar .
Die Matrix oben ist das Ergebnis von .
Beispiel 2:
Gegeben ist die folgende Matrix:
Bestimme für den Skalar .
Lösung:
Wir multiplizieren jeden Eintrag von mit .
Schreibe die Produkte mit Klammern: bedeutet .
Die Matrix oben ist das Ergebnis von .
Für Matrizen und desselben Formats, Skalare und sowie die Nullmatrix gelten folgende Rechenregeln.
| Eigenschaft | Identität | Bedeutung |
|---|---|---|
| Distributiv über Matrixaddition | Multipliziert man einen Skalar mit einer Summe von Matrizen, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarprodukte. | |
| Distributiv über Skalaraddition | Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einer Matrix, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren der beiden Skalarmultiplikationen. | |
| Assoziativ mit Skalarmultiplikation | Das Produkt der beiden Skalare kann zuerst berechnet werden. Alternativ wird die Matrix nacheinander mit beiden Skalaren multipliziert. | |
| Skalare Multiplikationsidentität | Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar verändert die Matrix nicht. | |
| Multiplikation mit Nullskalar | Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar führt zur Nullmatrix (), einer Matrix, in der alle Elemente sind. | |
| Multiplikation der Nullmatrix mit einem Skalar | Die Multiplikation der Nullmatrix mit einem beliebigen Skalar ergibt die Nullmatrix. | |
| Multiplikation mit Skalar | Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar ergibt ihre Gegenmatrix. |
Die Distributivgesetze zerlegen Produkte über Summen, während die Identitäts- und Nullregeln das Ergebnis für die Skalare und direkt festlegen.
Jede Aufgabe unten verlangt ein skalares Vielfaches einer Matrix. Multipliziere jeden Eintrag mit dem Skalar, auch die negativen Einträge und die Nullen, und behalte die Form der Matrix bei.
Berechne für die folgende Matrix.
Bestimme für die folgende Matrix.
Zeige für die folgenden Matrizen, dass gilt.
Lösung:
Lösung:
Zum Nachweis von berechnen wir beide Seiten:
Zunächst berechnen wir die linke Seite, .
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
Dann,
Anschließend folgt die rechte Seite, .
Dann,
Beide Rechnungen ergeben dieselbe Matrix. Damit gilt .
