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Bei einer vollständigen Faktorisierung schreiben wir ein Polynom als Produkt linearer Faktoren. Die zugehörigen Nullstellen dürfen dabei komplex sein.
Grundlage ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad besitzt in den komplexen Zahlen genau Nullstellen, wenn ihre Vielfachheiten mitgezählt werden. Reelle Nullstellen sind darin enthalten.
Wenn ein Polynom vom Grad mit dem führenden Koeffizienten ist, dann gibt es komplexe Zahlen (die die Wurzeln von sind), so dass:
Damit lässt sich jedes Polynom vom Grad in genau lineare Faktoren der Form zerlegen und mit seinem Leitkoeffizienten multiplizieren.
Jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor. Bestimme Nullstellen durch Gruppieren oder Prüfen rationaler Kandidaten und senke anschließend den Grad durch Division. Löse einen verbleibenden quadratischen Faktor mit der Lösungsformel, auch bei negativer Diskriminante.
Behalte den Leitkoeffizienten und wiederholte Faktoren bei. Das folgende Polynom hat zum Beispiel drei Nullstellen, wenn du Wiederholungen mitzählst: eins, eins und minus zwei.
Bestimme alle komplexen Nullstellen von und faktorisiere das Polynom vollständig.
Lösung:
Schritt 1. Wurzeln finden Versuchen wir zunächst, zu faktorisieren.
Faktorisieren durch Gruppierung:
Bestimme nun die Nullstellen aus :
Dadurch ergeben sich zwei Möglichkeiten:
Die komplexen Wurzeln sind also .
Schritt 2. Lineare Faktoren bilden
Zur Nullstelle gehört der Faktor . Zur Nullstelle gehört der Faktor . Zur Nullstelle gehört der Faktor .
Schritt 3. Vollständige Faktorisierung schreiben
Der führende Koeffizient von ist .
Bestimme alle komplexen Nullstellen von und faktorisiere anschließend vollständig. Beginne mit den möglichen rationalen Nullstellen, prüfe sie durch Einsetzen und teile jeden gefundenen Faktor heraus, bis nur noch ein quadratischer Rest bleibt.
Schritt 1. Rationale Wurzeln finden (Rationaler Nullsatz)
, Faktoren : . , Faktoren : . Mögliche Wurzeln : . Prüfe :
Also ist eine Wurzel und ein Faktor.
Schritt 2. Mit dem Horner-Schema dividieren ()
Quotient .
.
Schritt 3. Bestimme die Nullstellen des Quotienten. Löse mit der quadratischen Formel.
Die anderen Wurzeln sind und .
Schritt 4. Fasse die komplexen Nullstellen zusammen. Die Nullstellen sind .
Schritt 5. Vollständige Faktorisierung ()
Die waagerechte Achse zeigt den Realteil, die senkrechte den Imaginärteil. Die Nullstellen und sind Spiegelbilder an der reellen Achse. Die Nullstelle liegt auf der reellen Achse.
Die Paarbildung gilt, weil alle Koeffizienten reell sind. Den Funktionswert zu konjugieren ergibt dann dasselbe wie das Polynom an der konjugierten Eingabe auszuwerten:
Aus folgt somit auch . Die Voraussetzung reeller Koeffizienten ist nötig. Beispielsweise hat einen komplexen Koeffizienten und nur die Nullstelle .
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