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Mit dem Faktorsatz können wir Polynome schrittweise zerlegen. Manchmal bleibt dabei ein nichtlinearer Faktor zurück, etwa ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen. Über den komplexen Zahlen lässt auch er sich weiter zerlegen.
Bei einer vollständigen Faktorisierung schreiben wir ein Polynom als Produkt linearer Faktoren. Die zugehörigen Nullstellen dürfen dabei komplex sein.
Grundlage ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad besitzt in den komplexen Zahlen genau Nullstellen, wenn ihre Vielfachheiten mitgezählt werden. Reelle Nullstellen sind darin enthalten.
Wenn ein Polynom vom Grad mit dem führenden Koeffizienten ist, dann gibt es komplexe Zahlen (die die Wurzeln von sind), so dass:
Damit lässt sich jedes Polynom vom Grad in genau lineare Faktoren der Form zerlegen und mit seinem Leitkoeffizienten multiplizieren.
So gehst du bei der vollständigen Faktorisierung eines Polynoms vor:
Alle komplexen Nullstellen bestimmen: Finde sämtliche Nullstellen von . Dafür kommen mehrere Verfahren infrage:
Faktorsatz anwenden: Zu jeder Nullstelle gehört der lineare Faktor .
Vollständige Faktorisierung notieren: Multipliziere alle linearen Faktoren mit dem Leitkoeffizienten von .
Bestimme alle komplexen Nullstellen von und faktorisiere das Polynom vollständig.
Lösung:
Wurzeln finden: Versuchen wir zunächst, zu faktorisieren.
Faktorisieren durch Gruppierung:
Bestimme nun die Nullstellen aus :
Dadurch ergeben sich zwei Möglichkeiten:
Die komplexen Wurzeln sind also .
Lineare Faktoren bilden:
Vollständige Faktorisierung schreiben:
Der führende Koeffizient von ist .
Bestimme alle komplexen Nullstellen von und faktorisiere anschließend vollständig.
Rationale Wurzeln finden (Rationaler Nullsatz):
, Faktoren : .
, Faktoren : .
Mögliche Wurzeln : .
Prüfe :
Mit dem Horner-Schema dividieren ():
Nullstellen des Quotienten bestimmen: Löse mit der quadratischen Formel.
Alle komplexen Wurzeln: Die Wurzeln sind .
Vollständige Faktorisierung ():
Kann ein Polynom mit reellen Koeffizienten genau eine nichtreelle komplexe Nullstelle besitzen? Nein.
Dies liegt an der Eigenschaft komplex konjugierter Paare. Wenn ein Polynom reelle Koeffizienten hat, dann treten seine nicht-reellen komplexen Wurzeln ( mit ) immer in konjugierten Paaren auf.
Das heißt: Ist eine Nullstelle, dann ist auch die konjugierte Zahl eine Nullstelle des Polynoms.
Nichtreelle komplexe Nullstellen treten bei Polynomen mit reellen Koeffizienten deshalb immer paarweise auf. Ein solches Polynom kann also nicht genau eine nichtreelle Nullstelle besitzen.
Also ist eine Wurzel und ein Faktor.
Quotient .
.
Die anderen Wurzeln sind und .
