Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion in der Variablen $x$ wird im Allgemeinen in der Form geschrieben:

Die Bestandteile dieser allgemeinen Form haben jeweils eine feste Bedeutung:

• $P(x)$:

  Funktionsnotation: „P von x“ bedeutet, dass der Wert der Funktion vom Wert von $x$ abhängt.

• $x$:

  Die Variable der Polynomfunktion.

• $n$:

  Der höchste Exponent der Variablen $x$. Der Wert $n$ muss eine nichtnegative ganze Zahl aus $0, 1, 2, 3, \dots$ sein. Zugleich ist $n$ der Grad der Polynomfunktion.

• $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$:

• $a_n x^n$:

  Der Term mit der höchsten Potenz. Er heißt Leitterm.

• $a_n$:

  Der Leitkoeffizient $a_n$ muss ungleich null sein, also $a_n \neq 0$, damit die Funktion den Grad hat.

• $a_0$:

  Das Glied ohne die Variable $x$. Man kann es auch als $a_0 x^0$ schreiben. Es heißt oder .

Beispiel einer Polynomfunktion

Betrachten wir die Funktion $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1$.

• Dies ist eine Polynomfunktion in der Variablen $x$.
• Ihr Grad ist $3$, also der höchste Exponent von $x$.
• Ihr Leitterm ist $5x^3$.
• Ihr Leitkoeffizient ist $5$, also $a_3 = 5$.
• Weitere Koeffizienten sind $a_2 = -2$ und $a_1 = 7$.
• Ihr konstantes Glied ist $-1$, also $a_0 = -1$.

Eine Funktion ist also genau dann eine Polynomfunktion, wenn die Exponenten ihrer Variablen nichtnegative ganze Zahlen sind und der Leitkoeffizient nicht null ist.

Übung

Gegeben ist

Bestimme den Grad, den Leitterm, den Leitkoeffizienten, den Koeffizienten von $t^3$ und das konstante Glied. Berechne anschließend $p(2)$.

Ausführliche Lösung

Zuerst schreiben wir die fehlende Potenz mit einem Nullkoeffizienten:

• Grad: $4$
• Leitterm: $-2t^4$
• Leitkoeffizient: $-2$
• Koeffizient von $t^3$: $0$
• Konstantes Glied: $8$

Nun setzen wir $t=2$ ein:

Die Koeffizienten der Polynomfunktion. In dieser Lektion betrachten wir reelle Polynomfunktionen, daher sind die Koeffizienten reelle Zahlen. Polynome lassen sich auch über anderen Zahlenbereichen untersuchen, etwa über den komplexen Zahlen.