Potenzgesetze

Das Muster der Zweierpotenzen lesen

Die Tabelle zeigt ein wiederkehrendes Muster. Eine Zeile weiter unten $steigt der Exponent um eins$ , und der Wert wird mit $2$ multipliziert.

$2^n$	Wert
$2^1$	$2$
$2^2$	$4$
$2^3$	$8$
$2^4$	$16$
$2^5$	$32$
$2^6$	$64$
$2^7$	$128$
$2^8$	$256$
$2^9$	$512$
$2^{10}$	$1024$

Zum Beispiel verbindet $2^5\cdot2^3$ fünf Faktoren zwei mit drei weiteren Faktoren zwei. Das Ergebnis besitzt acht Faktoren zwei. Daher gilt $2^5\cdot2^3=2^8$ .

Sieben Potenzgesetze

Form des Ausdrucks	Gesetz	Hier verwendete Bedingungen
Gleiche Basen multiplizieren	$a^m a^n=a^{m+n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Gleiche Basen dividieren	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Eine Potenz potenzieren	$(a^m)^n=a^{mn}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Ein Produkt potenzieren	$(ab)^m=a^m b^m$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Einen Quotienten potenzieren	$\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Rationale Potenzen mit gleichem Nenner multiplizieren	$a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}$	$a>0$ , $m,n,p\in\mathbb{Z}$ , $n\neq0$
Allgemeine rationale Potenzen multiplizieren	$a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}$	$a>0$ , $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ , $n,q\neq0$

Beim Multiplizieren oder Dividieren gleicher Basen bleibt $die Basis unverändert$ . Nur die Exponenten werden miteinander verknüpft. Eine Potenz außerhalb einer Klammer wirkt dagegen auf den gesamten Ausdruck in der Klammer.

Bedingungen für Potenzgesetze

Die Basis null funktioniert bei einigen positiven Exponenten, aber nicht bei negativen Exponenten, denn $0^{-1}$ würde eine Division durch null verlangen. Die ganzzahligen Regeln verwenden deshalb $a\neq0$ als einheitliche Bedingung.
Ein Quotient benötigt außerdem einen Nenner ungleich null.
Bei rationalen Exponenten sorgt $a>0$ dafür, dass jede Wurzel und Potenz reell und eindeutig definiert ist. Einzelne Beispiele mit negativer Basis können reell sein, doch eine uneingeschränkte Regel würde nicht alle rationalen Exponenten abdecken.

Prüfe die $Bedingungen an Basis und Exponent$ , bevor du das Potenzgesetz anwendest.

Die Rechenoperation bestimmt das Potenzgesetz

Die Tabelle verbindet jede Operation im Term mit dem $ersten Vereinfachungsschritt$ . Bestimme die Operation und folge der passenden Zeile.

Muster im Ausdruck	Erster Schritt
Gleiche Basen werden multipliziert	Exponenten addieren
Gleiche Basen werden dividiert	Exponenten des Nenners subtrahieren
Eine Potenz steht außerhalb einer Potenz	Exponenten multiplizieren
Produkt oder Quotient steht in Klammern	Äußeren Exponenten verteilen
Rationale Exponenten haben verschiedene Nenner	Auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Produkte Quotienten und Potenzen vereinfachen

Die Beispiele unten verbinden mehrere Gesetze in einem Term. Wende $pro Schritt ein Gesetz$ an und lasse die Basis unverändert. Schreibe jeden Zwischenschritt auf, denn dort erkennst du, welches Gesetz du benutzt hast.

Produkte und Quotienten verknüpfen

Jede Aufgabe unten verbindet Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. $Addiere die Exponenten$ der Faktoren im Zähler und $subtrahiere die Exponenten$ der Faktoren im Nenner und lasse die Basis unverändert.

Vereinfache $\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}$ .
$\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}=2^{5+3-2}$
Vereinfache $2^2\cdot2^3$ .

$2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5=32$
Vereinfache $2^5\cdot2^2$ .

$2^5\cdot2^2=2^{5+2}=2^7=128$
Vereinfache $2^3\cdot2^7$ .

$2^3\cdot2^7=2^{3+7}=2^{10}=1024$
Vereinfache $\frac{2^8}{2^6}$ .

$\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$
Vereinfache $\frac{2^{10}}{2^3}$ .

$\frac{2^{10}}{2^3}=2^{10-3}=2^7=128$
Vereinfache $\frac{2^6}{2^4}$ .

$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$

Potenzen potenzieren

Jeder Ausdruck unten potenziert eine Potenz erneut. $Multipliziere die beiden Exponenten$ und lasse die Basis unverändert, und vergleiche dein Ergebnis anschließend mit dem Zahlenwert in der Lösung.

Vereinfache $(2^3)^3$ .

$(2^3)^3=2^{3\cdot3}=2^9=512$
Vereinfache $(2^4)^2$ .

$(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8=256$
Vereinfache $(2^2)^5$ .

$(2^2)^5=2^{2\cdot5}=2^{10}=1024$

Rationale Exponenten

Bei gleicher Basis addierst du die gebrochenen Exponenten. Verwende einen $gemeinsamen Nenner$ , damit die Zähler gleich große Teile zählen. Im zweiten Beispiel entspricht ein Halb drei Sechsteln und ein Drittel zwei Sechsteln.

Vereinfache $2^{1/3}2^{2/3}$ .
$2^{1/3}2^{2/3}=2^{(1+2)/3}$
Vereinfache $3^{1/2}3^{1/3}$ .
$3^{1/2}3^{1/3}=3^{3/6+2/6}$

In jedem Beispiel bestimmen die Rechenoperation und die Anordnung der Basen, welches Gesetz anzuwenden ist. Diese Struktur zuerst zu lesen ist zuverlässiger, als eine Formel ohne Zusammenhang auswendig abzurufen.