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| Gesetz | Identität | Hier verwendete Bedingungen |
|---|---|---|
| Produkt gleicher Basen | , | |
| Quotient gleicher Basen | ||
| Potenz einer Potenz | , | |
| Potenz eines Produkts | , | |
| Potenz eines Quotienten | ||
| Rationale Potenzen mit gleichem Nenner | ||
| Allgemeine rationale Potenzen |
Die Regeln für ganzzahlige Exponenten lassen sich teilweise auf andere Bereiche erweitern. Solche Erweiterungen benötigen jedoch zusätzliche Bedingungen. Unter den in der Tabelle genannten Voraussetzungen ist jeder Ausdruck über den reellen Zahlen eindeutig definiert.
Die Beweise unten schreiben jede Potenz als wiederholte Multiplikation. Diese Form zeigt direkt, warum sich die Exponenten addieren, subtrahieren oder multiplizieren. Lies jeden Beweis als kurze Kette von Gleichungen und prüfe, dass jeder Schritt nur die Definition der Potenz benutzt.
Für positive ganze Zahlen und wird jede Potenz als wiederholte Multiplikation geschrieben:
Der Fall null folgt aus . Negative ganzzahlige Exponenten folgen aus . Deshalb muss ungleich null sein.
Bei kürzt die Division Faktoren aus dem Zähler:
Bei bleiben die nicht gekürzten Faktoren im Nenner. Die Definition negativer Exponenten führt zum selben Ergebnis:
Für positives tritt der Faktor genau -mal auf:
Die Regel für den Exponenten null deckt den Fall ab. Für negatives wird der Kehrwert gebildet.
Für positives ergibt das Umgruppieren der Faktoren:
Die Fälle null und negativ folgen erneut aus und . Nicht verschwindende Basen stellen sicher, dass alle benötigten Kehrwerte definiert sind.
Für rationale Exponenten verwenden wir eine positive Basis. Wir schreiben beide Faktoren als ganzzahlige Potenzen derselben positiven Wurzel. Die Nenner werden positiv gewählt. Ist ein Nenner zunächst negativ, multipliziere Zähler und Nenner zuerst mit minus eins.
Setze . Wegen und können wir das bewiesene Gesetz für ganzzahlige Exponenten anwenden:
Wähle die gemeinsame Wurzel . Es gilt und . Daher ist die positive Wurzel gleich und gleich . Somit gilt:
Die Beispiele unten wenden die Gesetze an und prüfen anschließend das Ergebnis. Jedes Beispiel nennt das verwendete Gesetz, sodass die Schritte nachvollziehbar bleiben. Decke die Lösung ab, rechne selbst und nutze das genannte Gesetz, um eine Abweichung zu finden.
Um einen Exponenten zu bestimmen, schreibe beide Seiten mit derselben positiven Basis ungleich eins. Unter dieser Voraussetzung liefern verschiedene Exponenten verschiedene Funktionswerte. Das Multiplikationsbeispiel zwischen den beiden Gleichungen überprüft außerdem die Addition der Exponenten.
Bestimme in .
Überprüfe für .
Bestimme in .
Jeder Ausdruck unten verbindet mehrere Potenzgesetze. Arbeite von innen nach außen und vereinfache Zahlen und Variablen getrennt, damit ein Fehler im einen Teil nicht im anderen verschwindet.
Vereinfache .
Vereinfache .
Vereinfache für und den Ausdruck .
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
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| , |
| , , |
| , , |
Beide Seiten besitzen dieselbe Basis und denselben Exponenten. Damit ist die Identität bestätigt.
