Vor jeder Regel den Definitionsbereich angeben
Potenzgesetze hängen von der Art des Exponenten und vom Vorzeichen der Basis ab. Die folgenden sieben Identitäten sind nützlich, doch ihre Bedingungen gehören jeweils zur Aussage.
For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Potenzgesetze hängen von der Art des Exponenten und vom Vorzeichen der Basis ab. Die folgenden sieben Identitäten sind nützlich, doch ihre Bedingungen gehören jeweils zur Aussage.
| Gesetz | Identität | Hier verwendete Bedingungen |
|---|
| Produkt gleicher Basen | , | |
| Quotient gleicher Basen | ||
| Potenz einer Potenz | , | |
| Potenz eines Produkts | , | |
| Potenz eines Quotienten | ||
| Rationale Potenzen mit gleichem Nenner | ||
| Allgemeine rationale Potenzen |
Die Regeln für ganzzahlige Exponenten lassen sich teilweise auf andere Bereiche erweitern. Solche Erweiterungen benötigen jedoch zusätzliche Bedingungen. Mit den hier angegebenen Voraussetzungen sind alle Ausdrücke dieses Kapitels über den reellen Zahlen eindeutig.
Für positive ganze Zahlen und wird jede Potenz als wiederholte Multiplikation geschrieben:
Der Fall null folgt aus . Negative ganzzahlige Exponenten folgen aus . Deshalb muss ungleich null sein.
Bei kürzt die Division Faktoren aus dem Zähler:
Bei bleiben die nicht gekürzten Faktoren im Nenner. Die Definition negativer Exponenten führt zum selben Ergebnis:
Für positives tritt der Faktor genau -mal auf:
Wie zuvor folgt aus der Nullpotenz. Negatives folgt durch Bildung des Kehrwerts.
Für positives ergibt das Umgruppieren der Faktoren:
Die Fälle null und negativ folgen erneut aus und . Nicht verschwindende Basen stellen sicher, dass alle benötigten Kehrwerte definiert sind.
Für rationale Exponenten wird eine positive Basis verwendet, damit jede reelle Wurzel einheitlich definiert ist.
Wende das Produktgesetz für gleiche Basen an und addiere anschließend die Brüche:
Bringe die Exponenten zuerst auf den gemeinsamen Nenner :
Bestimme in .
Überprüfe für .
Bestimme in .
Vereinfache .
Vereinfache .
Vereinfache für und den Ausdruck .
| , |
| , |
| , , |
| , , |
Beide Seiten besitzen dieselbe Basis und denselben Exponenten. Damit ist die Identität bestätigt.