Potenzgesetze

Zum Beispiel verbindet $2^5\cdot2^3$ fünf Faktoren zwei mit drei weiteren Faktoren zwei. Das Ergebnis besitzt acht Faktoren zwei. Daher gilt $2^5\cdot2^3=2^8$.

Sieben Potenzgesetze

Beim Multiplizieren oder Dividieren gleicher Basen bleibt die Basis unverändert. Nur die Exponenten werden miteinander verknüpft. Eine Potenz außerhalb einer Klammer wirkt dagegen auf den gesamten Ausdruck in der Klammer.

Warum die Bedingungen wichtig sind

• Die Basis null funktioniert bei einigen positiven Exponenten, aber nicht bei negativen Exponenten, denn $0^{-1}$ würde eine Division durch null verlangen. Die ganzzahligen Regeln verwenden deshalb $a\neq0$ als einheitliche Bedingung.
• Ein Quotient benötigt außerdem einen Nenner ungleich null.
• Bei rationalen Exponenten sorgt $a>0$ dafür, dass jede Wurzel und Potenz reell und eindeutig definiert ist. Einzelne Beispiele mit negativer Basis können reell sein, doch eine uneingeschränkte Regel würde nicht alle rationalen Exponenten abdecken.

Die Bedingungen sind kein Zusatz hinter der Formel. Sie müssen vor der Anwendung des Gesetzes geprüft werden.

Das passende Gesetz wählen

Durchgerechnete Beispiele

Produkte und Quotienten verknüpfen

1. Vereinfache $\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}$.

   $$\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}=2^{5+3-2}$$

   $$2^{5+3-2}=2^6=64$$

2. Vereinfache $2^2\cdot2^3$.

   $$2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5=32$$

3. Vereinfache $2^5\cdot2^2$.

   $$2^5\cdot2^2=2^{5+2}=2^7=128$$

4. Vereinfache $2^3\cdot2^7$.

   $$2^3\cdot2^7=2^{3+7}=2^{10}=1024$$

5. Vereinfache $\frac{2^8}{2^6}$.

   $$\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$$

6. Vereinfache $\frac{2^{10}}{2^3}$.

   $$\frac{2^{10}}{2^3}=2^{10-3}=2^7=128$$

7. Vereinfache $\frac{2^6}{2^4}$.

   $$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$$

Potenzen potenzieren

8. Vereinfache $(2^3)^3$.

   $$(2^3)^3=2^{3\cdot3}=2^9=512$$

9. Vereinfache $(2^4)^2$.

   $$(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8=256$$

10. Vereinfache $(2^2)^5$.

    $$(2^2)^5=2^{2\cdot5}=2^{10}=1024$$

Rationale Exponenten

11. Vereinfache $2^{1/3}2^{2/3}$.

    $$2^{1/3}2^{2/3}=2^{(1+2)/3}$$

    $$2^{3/3}=2$$

12. Vereinfache $3^{1/2}3^{1/3}$.

    $$3^{1/2}3^{1/3}=3^{3/6+2/6}$$

In jedem Beispiel bestimmen die Rechenoperation und die Anordnung der Basen, welches Gesetz anzuwenden ist. Diese Struktur zuerst zu lesen ist zuverlässiger, als eine Formel ohne Zusammenhang auswendig abzurufen.