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Gebrochene Exponenten und Wurzeln sind zwei Schreibweisen für dieselbe Operation. Ein Zerfallsmodell macht diesen Zusammenhang anschaulich.
Nehmen wir an, beschreibt die im Körper verbleibende Menge eines Medikaments Stunden nach der Einnahme. Die Anfangsmenge beträgt Einheiten und halbiert sich in jeder Stunde:
Dreißig Minuten sind eine halbe Stunde. Deshalb lautet die richtige Eingabe:
Nach dreißig Minuten verbleibt somit folgende Menge:
Die Gleichheit verbindet die Potenzschreibweise mit der Wurzelschreibweise. Auch die Einheit des Modells ist entscheidend: würde dreißig Stunden bedeuten, nicht dreißig Minuten.
Für , und lautet die reelle Definition:
Damit können wir zwischen gebrochenen Exponenten und Wurzeln wechseln, ohne den Wert zu verändern. Ist ungerade, können auch negative reelle Zahlen eine reelle te Wurzel besitzen. Ist gerade, hat eine negative Zahl unter der Wurzel keine reelle Wurzel.
Vereinfache für .
Zuerst schreiben wir beide Wurzeln als Potenzen. Dann multiplizieren wir die Koeffizienten und addieren die Exponenten:
Die beiden gleichwertigen vereinfachten Formen sind also und .
Eine Wurzel lässt sich nicht auf eine Summe verteilen. Im Allgemeinen gilt:
Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um die vermeintliche Identität zu widerlegen. Setzen wir und :
Mit zwei Quadratzahlen wird der Unterschied noch deutlicher:
Da gilt, sind die beiden Ausdrücke nicht austauschbar. Die Summe bleibt unter der Wurzel, solange kein gültiger algebraischer Schritt sie verändert.
