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Für eine quadratische Gleichung mit ist jede Zahl , welche die Gleichung erfüllt, eine Lösung. Über den komplexen Zahlen besitzt eine quadratische Gleichung zwei Lösungen, wenn eine doppelte Lösung zweimal gezählt wird. Die Lösungsformel liefert diese Werte:
Der Ausdruck heißt Diskriminante und wird mit bezeichnet. An ihrem Vorzeichen lässt sich bereits vor dem Ausrechnen erkennen, welche Art von Lösungen vorliegt.
Für oder besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
Beispiel:
Für oder stimmen beide Werte aus der Lösungsformel überein. Die Gleichung besitzt eine doppelte reelle Lösung.
Beispiel:
Für oder besitzt die quadratische Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Sie bilden ein konjugiertes Paar.
Dabei definiert die imaginäre Einheit.
Beispiel:
Sind und die Lösungen von , gelten nach den Formeln von Vieta:
Mit diesen Beziehungen lassen sich berechnete Lösungen überprüfen oder die Koeffizientenverhältnisse und bestimmen. Eine konkrete Gleichung ist festgelegt, sobald zusätzlich der Leitkoeffizient bekannt ist.
Ordne die Lösungen der Gleichung ein und bestimme sie. Prüfe sie anschließend über ihre Summe und ihr Produkt.
Die Koeffizienten sind , und . Die Diskriminante ist
Wegen besitzt die Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Wir setzen in die Lösungsformel ein und verwenden :
Somit gilt:
Summe und Produkt stimmen mit den Formeln von Vieta überein:
Beide Kontrollen verwenden die ursprünglichen Koeffizienten. Dadurch fallen ein verlorenes Vorzeichen oder ein falscher Nenner in der Lösungsformel auf.
