Was bedeutet quadratische Ergänzung?
Bei der quadratischen Ergänzung wird eine Gleichung der Form in die Form umgeschrieben. Sobald die linke Seite ein Quadrat ist, lassen sich die Lösungen durch Wurzelziehen bestimmen.
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Bei der quadratischen Ergänzung wird eine Gleichung der Form in die Form umgeschrieben. Sobald die linke Seite ein Quadrat ist, lassen sich die Lösungen durch Wurzelziehen bestimmen.
Die Identität zeigt genau, welche Konstante das Quadrat ergänzt. Lautet der mittlere Term , fehlt der Term .
Manche quadratischen Gleichungen lassen sich nicht über den rationalen Zahlen faktorisieren. Für gibt es kein rationales Zahlenpaar mit dem Produkt und der Summe .
Die quadratische Ergänzung funktioniert trotzdem, denn sie setzt ein solches Zahlenpaar nicht voraus.
Für eine quadratische Gleichung gehen wir in dieser Reihenfolge vor:
Den Koeffizienten von auf bringen
Ist der Koeffizient von nicht , wird die gesamte Gleichung durch geteilt.
Beispiel: Für die Gleichung
Die Konstante auf die rechte Seite bringen
Der konstante Term wird auf die rechte Seite der Gleichung gebracht.
Beispiel: Aus der Gleichung
Den Ergänzungsterm auf beiden Seiten addieren
Auf beiden Seiten wird addiert. Dieser Wert ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von .
Beispiel: Für die Gleichung
Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben
Die linke Seite hat nun die Form und lässt sich als schreiben.
Die rechte Seite vereinfachen
Die Terme auf der rechten Seite werden zusammengefasst.
Beispiel: Für
Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen
Durch das Radizieren wird das Quadrat aufgehoben. Dabei müssen beide Vorzeichen berücksichtigt werden.
Beispiel: Aus der Gleichung
Die Variable isolieren
Zum Schluss wird die Variable isoliert.
Beispiel: Aus
Betrachten wir die Gleichung .
Schritt : Der Koeffizient ist bereits . Daher ist keine Division nötig.
Schritt : Die Konstante auf die rechte Seite bringen.
Schritt : Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren.
Schritt : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.
Schritt : Die rechte Seite vereinfachen.
Schritt : Beide Seiten radizieren.
Schritt : Nach auflösen.
Die Lösungen sind und .
Nun betrachten wir mit einem anderen Leitkoeffizienten.
Schritt : Alle Terme durch den Koeffizienten teilen.
Schritt : Die Konstante auf die rechte Seite bringen.
Schritt : Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren.
Schritt : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.
Schritt : Die rechte Seite vereinfachen.
Schritt : Beide Seiten radizieren.
Schritt : Nach auflösen.
Die Lösungen sind und .
Koeffizient von ungleich : Zuerst wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten geteilt. So wird aus die Gleichung .
Ergänzungsterm: Das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von wird auf beiden Seiten addiert. Für ist das .
Endform: Die Gleichung erhält die Form . Zum Beispiel wird aus die Gleichung .
Ist , hat die Gleichung keine reellen Lösungen.
Konkretes Beispiel:
Die quadratische Ergänzung ergibt:
Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht sein kann, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.
Bei Gleichungen der Form ist keine quadratische Ergänzung nötig.
Konkretes Beispiel:
Die Lösungen sind und .
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung:
Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Die rechte Seite vereinfachen:
Beide Seiten radizieren:
Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:
Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:
Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:
Die Hälfte des Koeffizienten von ist
Das Quadrat dieser Zahl ist .
Wir addieren es auf beiden Seiten:
Beispiel: Aus der Gleichung
Damit lautet die Gleichung:
Für das positive Vorzeichen:
Für das negative Vorzeichen:
Die Lösungen sind und .
Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Die rechte Seite vereinfachen:
Beide Seiten radizieren:
Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Die rechte Seite vereinfachen:
Beide Seiten radizieren:
Nach auflösen:
Die Gleichung hat die doppelte Lösung .
Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Beide Seiten radizieren:
Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Die rechte Seite vereinfachen:
Beide Seiten radizieren:
Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .