Der Graph einer quadratischen Funktion
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Leitkoeffizient bestimmt ihre Öffnungsrichtung und wie schmal oder breit sie erscheint.
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Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Leitkoeffizient bestimmt ihre Öffnungsrichtung und wie schmal oder breit sie erscheint.
Für öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen Tiefpunkt.
Beispiele für Funktionen mit :
Das Vorzeichen von bestimmt die Öffnungsrichtung. Der Betrag bestimmt die Breite: Im Vergleich zu ist der Graph für schmaler und für breiter.
Für öffnet sich die Parabel nach unten und besitzt einen Hochpunkt.
Beispiele für Funktionen mit :
Für bleibt . Das ist eine lineare und keine quadratische Funktion. Deshalb muss gelten, damit die höchste Potenz von gleich ist.
Der Scheitel ist für der höchste und für der niedrigste Punkt des Graphen. Seine Koordinaten sind .
Die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die die Parabel in zwei symmetrische Teile teilt. Die Gleichung der Symmetrieachse lautet .
Den Schnittpunkt mit der -Achse erhalten wir für . Sein Funktionswert ist .
Die Schnittpunkte mit der -Achse entstehen für , also durch . Die Lösungen liefert die quadratische Formel:
Wir zeichnen die Funktion :
Koeffizient , also öffnet sich die Parabel nach oben.
Scheitelpunkt:
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
-Achsenabschnitt:
Schnittpunkte auf der -Achse: oder
Für die Form des Graphen berechnen wir zwei weitere Punkte:
Wir zeichnen die Funktion :
Koeffizient , also öffnet sich die Parabel nach unten.
Scheitelpunkt:
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
-Achsenabschnitt:
Der -Achsenabschnitt liegt also bei .
Schnittpunkte auf der -Achse: oder
Für die Form des Graphen berechnen wir weitere Punkte:
Der Scheitel werde als mit geschrieben.
| Bedingung | Öffnung | Extremwert | Wertebereich |
|---|---|---|---|
| Nach oben | Minimum | ||
| Nach unten | Maximum |
Untersuche den Graphen von . Bestimme Öffnungsrichtung, Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkte und Wertebereich.
Die Funktion liegt bereits in der Scheitelpunktform vor. Hier gilt , und .
Für den Schnittpunkt mit der -Achse setzen wir ein:
Der Graph schneidet die -Achse also bei . Für die Schnittpunkte mit der -Achse lösen wir :
Die Schnittpunkte sind und . Da sich die Parabel vom Maximum nach unten öffnet, ist ihr Wertebereich .
Der -Achsenabschnitt liegt also bei .
Mit der quadratischen Formel folgt:
Die Schnittpunkte auf der -Achse sind also und .
Der -Achsenabschnitt liegt also bei .