Eigenschaften quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion

Eine Parabel hat eine $Symmetrieachse und einen Scheitelpunkt$ . Bei $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\ne0$ bestimmt das Vorzeichen des Leitkoeffizienten die Öffnungsrichtung. Sein Betrag bestimmt die Krümmung. Alle drei Koeffizienten legen gemeinsam die Lage fest.

Wie der Leitkoeffizient die Parabel verändert

$Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidet$ , ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Sein Betrag entscheidet, wie schmal oder breit die Parabel wird, denn ein größerer Betrag zieht beide Äste näher an die Symmetrieachse.

Positiver Leitkoeffizient

Für $a > 0$ öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen Tiefpunkt.

Beispiele für Funktionen mit $a > 0$ :

$f(x) = x^2$ , das einfachste Beispiel mit $a = 1$
$f(x) = 2x^2 + 1$ , ein Beispiel mit $a = 2$

Das Vorzeichen von $a$ bestimmt die $Öffnungsrichtung$ . Der Betrag bestimmt die Breite: Im Vergleich zu $y=x^2$ ist der Graph für $|a|>1$ schmaler und für $0<|a|<1$ breiter.

Parabelbreite

Alle drei Parabeln haben den Scheitel (0,0). Der Koeffizient 2 ergibt die schmalste Kurve, 0,5 die breiteste.

Negativer Leitkoeffizient

Für $a < 0$ öffnet sich die Parabel $nach unten$ und besitzt einen Hochpunkt.

Beispiele für Funktionen mit $a < 0$ :

$f(x) = -x^2$ mit $a = -1$
$f(x) = -3x^2 - 12x - 15$ mit $a = -3$

Beim zweiten Beispiel zeigt die quadratische Ergänzung den Maximalwert. Multiplizierst du ein nichtnegatives Quadrat mit einer negativen Zahl, ist das Ergebnis stets nichtpositiv.

-3x^2-12x-15=-3(x+2)^2-3\le-3

Warum der Leitkoeffizient nicht null sein darf

Für $a=0$ $entfällt der quadratische Term$ . Der Ausdruck $bx+c$ ist für $b\ne0$ linear und für $b=0$ konstant. Beispielsweise ergibt $2x+3$ eine schräge Gerade und $3$ eine waagerechte Gerade.

Bei einer Geraden verändert eine Erhöhung der Eingabe um eins den Funktionswert immer um denselben linearen Koeffizienten. Eine Gerade wechselt ihre Steigungsrichtung nicht, wie es die Parabel am Scheitel tut.

f(x+1)-f(x)=b(x+1)+c-(bx+c)=b

Kennzeichnende Punkte und Linien der Parabel

Mit $Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Achsenschnittpunkten$ legst du die Lage der Parabel fest. Nicht jede Parabel schneidet die waagerechte Achse. Der Leitkoeffizient bestimmt weiterhin die Breite, besonders wenn mehrere Merkmale im selben Punkt zusammenfallen.

Scheitelpunkt

Die quadratische Ergänzung zeigt den $Extremwert$ , denn ein Quadrat ist nichtnegativ. Bei $f(x)=x^2-2x-3$ liegt das Minimum bei $x=1$ :

f(x)=(x-1)^2-4\ge-4

Symmetrieachse

Zwei Punkte mit $gleichem Abstand zur Symmetrieachse$ haben dieselbe Höhe. Bei $f(x)=(x-1)^2-4$ verwenden wir den Abstand $t$ von der Geraden $x=1$ :

f(1-t)=(-t)^2-4=t^2-4=f(1+t)

Schnittpunkt mit der vertikalen Achse

Für den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse setzt du $den Eingabewert null$ ein. Alle variablen Terme verschwinden. Bei $f(x)=2x^2-4x+5$ gilt:

f(0)=2(0)^2-4(0)+5=5\quad\Rightarrow\quad(0,5)

Schnittpunkte mit der horizontalen Achse

Für Schnittpunkte mit der waagerechten Achse muss der $Funktionswert null$ sein. Die Faktorisierung von $x^2-2x-3$ liefert zwei Lösungen. Bei negativer Diskriminante gäbe es keine reellen Schnittpunkte mit dieser Achse:

(x-3)(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x\in\{-1,3\}

Quadratische Funktionsgraphen zeichnen

Die Beispiele unten zeichnen eine nach oben und eine nach unten geöffnete Parabel. Jeder $Zeichenschritt$ ist ausgeschrieben, sodass die Form mit der Formel verglichen werden kann.

Beispiel einer nach oben öffnenden Parabel

Wir zeichnen die Funktion $f(x) = x^2 - 2x - 3$ :

$Schritt 1$ : Koeffizient $a = 1 > 0$ , also öffnet sich die Parabel $nach oben$ . $Schritt 2$ : $Scheitelpunkt$ :

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1

Der $Scheitelpunkt$ liegt also bei $(1, -4)$ .

$Schritt 3$ : $y$ -Achsenabschnitt:

f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt also bei $(0, -3)$ .

$Schritt 4$ : Schnittpunkte auf der $x$ -Achse: $f(x) = 0$ oder $x^2 - 2x - 3 = 0$

Mit der quadratischen Formel folgt:

\begin{aligned} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{2 \pm 4}{2} \end{aligned}

Die Schnittpunkte auf der $x$ -Achse sind also $(-1, 0)$ und $(3, 0)$ .

$Schritt 5$ : Für die Form des Graphen berechnen wir zwei weitere Punkte:

\begin{aligned} f(-2) &= (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 \\ &= 4 + 4 - 3 \\ &= 5 \end{aligned}

Scheitel und Achsenschnittpunkte

Beispiel einer nach unten öffnenden Parabel

Wir zeichnen die Funktion $f(x) = -x^2$ :

$Schritt 1$ : Koeffizient $a = -1 < 0$ , also öffnet sich die Parabel $nach unten$ . $Schritt 2$ : Scheitelpunkt:

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0

Der Scheitelpunkt liegt also bei $(0, 0)$ .

$Schritt 3$ : $y$ -Achsenabschnitt:

f(0) = 0

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt also bei $(0, 0)$ .

$Schritt 4$ : Schnittpunkte auf der $x$ -Achse: $f(x) = 0$ oder $-x^2 = 0$

x^2 = 0

Der $x$ -Achsenabschnitt liegt also bei $(0, 0)$ .

$Schritt 5$ : Für die Form des Graphen berechnen wir weitere Punkte:

f(-2) = -((-2)^2) = -4

Eine Parabel mit Hochpunkt

Öffnung Scheitel und Wertebereich

Die Tabelle verwendet $alle reellen Zahlen als Definitionsbereich$ . Bei eingeschränktem Definitionsbereich wird der Extremwert möglicherweise nicht erreicht. Schreibe den Scheitel als $(x_v,y_v)$ mit $y_v=f(x_v)$ .

Bedingung	Öffnung	Extremwert	Wertebereich
$a > 0$	Nach oben	Minimum	$[y_v,\infty)$
$a < 0$	Nach unten	Maximum	$(-\infty,y_v]$

Übungsaufgabe

Diese Aufgabe prüft an einer einzigen Funktion die ganze Merkmalsliste, deshalb muss die Antwort jedes Merkmal nennen.

Untersuche den Graphen von $g(x)=-2(x+1)^2+8$ . Bestimme $Öffnungsrichtung$ , Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkte und Wertebereich.

Ausführliche Lösung

Die Funktion liegt bereits in der $Scheitelpunktform$ $a(x-h)^2+k$ vor. Hier gilt $a=-2$ , $h=-1$ und $k=8$ .

Wegen $a<0$ öffnet sich die Parabel $nach unten$ .
Der Scheitelpunkt ist $(-1,8)$ , daher ist sein Maximalwert $8$ .
Die Symmetrieachse ist $x=-1$ .

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse setzen wir $x=0$ ein:

g(0)=-2(0+1)^2+8=6

Der Graph schneidet die $y$ -Achse also bei $(0,6)$ . Für die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse lösen wir $g(x)=0$ :

-2(x+1)^2+8=0

Die Schnittpunkte sind $(-3,0)$ und $(1,0)$ . Da sich die Parabel vom Maximum $8$ nach unten öffnet, ist ihr Wertebereich $(-\infty,8]$ .

Der Graph einer quadratischen Funktion

Wie der Leitkoeffizient die Parabel verändert

Positiver Leitkoeffizient

Für $a > 0$ öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen Tiefpunkt.

Beispiele für Funktionen mit $a > 0$ :

$f(x) = x^2$ , das einfachste Beispiel mit $a = 1$
$f(x) = 2x^2 + 1$ , ein Beispiel mit $a = 2$

Das Vorzeichen von $a$ bestimmt die $Öffnungsrichtung$ . Der Betrag bestimmt die Breite: Im Vergleich zu $y=x^2$ ist der Graph für $|a|>1$ schmaler und für $0<|a|<1$ breiter.

Parabelbreite

Alle drei Parabeln haben den Scheitel (0,0). Der Koeffizient 2 ergibt die schmalste Kurve, 0,5 die breiteste.

Negativer Leitkoeffizient

Für $a < 0$ öffnet sich die Parabel $nach unten$ und besitzt einen Hochpunkt.

Beispiele für Funktionen mit $a < 0$ :

$f(x) = -x^2$ mit $a = -1$
$f(x) = -3x^2 - 12x - 15$ mit $a = -3$

Beim zweiten Beispiel zeigt die quadratische Ergänzung den Maximalwert. Multiplizierst du ein nichtnegatives Quadrat mit einer negativen Zahl, ist das Ergebnis stets nichtpositiv.

-3x^2-12x-15=-3(x+2)^2-3\le-3

Warum der Leitkoeffizient nicht null sein darf

Für $a=0$ $entfällt der quadratische Term$ . Der Ausdruck $bx+c$ ist für $b\ne0$ linear und für $b=0$ konstant. Beispielsweise ergibt $2x+3$ eine schräge Gerade und $3$ eine waagerechte Gerade.

f(x+1)-f(x)=b(x+1)+c-(bx+c)=b

Kennzeichnende Punkte und Linien der Parabel

Scheitelpunkt

Die quadratische Ergänzung zeigt den $Extremwert$ , denn ein Quadrat ist nichtnegativ. Bei $f(x)=x^2-2x-3$ liegt das Minimum bei $x=1$ :

f(x)=(x-1)^2-4\ge-4

Symmetrieachse

Zwei Punkte mit $gleichem Abstand zur Symmetrieachse$ haben dieselbe Höhe. Bei $f(x)=(x-1)^2-4$ verwenden wir den Abstand $t$ von der Geraden $x=1$ :

f(1-t)=(-t)^2-4=t^2-4=f(1+t)

Schnittpunkt mit der vertikalen Achse

Für den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse setzt du $den Eingabewert null$ ein. Alle variablen Terme verschwinden. Bei $f(x)=2x^2-4x+5$ gilt:

f(0)=2(0)^2-4(0)+5=5\quad\Rightarrow\quad(0,5)

Schnittpunkte mit der horizontalen Achse

(x-3)(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x\in\{-1,3\}

Quadratische Funktionsgraphen zeichnen

Die Beispiele unten zeichnen eine nach oben und eine nach unten geöffnete Parabel. Jeder $Zeichenschritt$ ist ausgeschrieben, sodass die Form mit der Formel verglichen werden kann.

Beispiel einer nach oben öffnenden Parabel

Wir zeichnen die Funktion $f(x) = x^2 - 2x - 3$ :

$Schritt 1$ : Koeffizient $a = 1 > 0$ , also öffnet sich die Parabel $nach oben$ . $Schritt 2$ : $Scheitelpunkt$ :

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1

Der $Scheitelpunkt$ liegt also bei $(1, -4)$ .

$Schritt 3$ : $y$ -Achsenabschnitt:

f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt also bei $(0, -3)$ .

$Schritt 4$ : Schnittpunkte auf der $x$ -Achse: $f(x) = 0$ oder $x^2 - 2x - 3 = 0$

Mit der quadratischen Formel folgt:

\begin{aligned} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{2 \pm 4}{2} \end{aligned}

Die Schnittpunkte auf der $x$ -Achse sind also $(-1, 0)$ und $(3, 0)$ .

$Schritt 5$ : Für die Form des Graphen berechnen wir zwei weitere Punkte:

\begin{aligned} f(-2) &= (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 \\ &= 4 + 4 - 3 \\ &= 5 \end{aligned}

Scheitel und Achsenschnittpunkte

Beispiel einer nach unten öffnenden Parabel

Wir zeichnen die Funktion $f(x) = -x^2$ :

$Schritt 1$ : Koeffizient $a = -1 < 0$ , also öffnet sich die Parabel $nach unten$ . $Schritt 2$ : Scheitelpunkt:

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0

Der Scheitelpunkt liegt also bei $(0, 0)$ .

$Schritt 3$ : $y$ -Achsenabschnitt:

f(0) = 0

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt also bei $(0, 0)$ .

$Schritt 4$ : Schnittpunkte auf der $x$ -Achse: $f(x) = 0$ oder $-x^2 = 0$

x^2 = 0

Der $x$ -Achsenabschnitt liegt also bei $(0, 0)$ .

$Schritt 5$ : Für die Form des Graphen berechnen wir weitere Punkte:

f(-2) = -((-2)^2) = -4

Eine Parabel mit Hochpunkt

Öffnung Scheitel und Wertebereich

Bedingung	Öffnung	Extremwert	Wertebereich
$a > 0$	Nach oben	Minimum	$[y_v,\infty)$
$a < 0$	Nach unten	Maximum	$(-\infty,y_v]$

Übungsaufgabe

Diese Aufgabe prüft an einer einzigen Funktion die ganze Merkmalsliste, deshalb muss die Antwort jedes Merkmal nennen.

Untersuche den Graphen von $g(x)=-2(x+1)^2+8$ . Bestimme $Öffnungsrichtung$ , Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkte und Wertebereich.

Ausführliche Lösung

Die Funktion liegt bereits in der $Scheitelpunktform$ $a(x-h)^2+k$ vor. Hier gilt $a=-2$ , $h=-1$ und $k=8$ .

Wegen $a<0$ öffnet sich die Parabel $nach unten$ .
Der Scheitelpunkt ist $(-1,8)$ , daher ist sein Maximalwert $8$ .
Die Symmetrieachse ist $x=-1$ .

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse setzen wir $x=0$ ein:

g(0)=-2(0+1)^2+8=6

Der Graph schneidet die $y$ -Achse also bei $(0,6)$ . Für die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse lösen wir $g(x)=0$ :

-2(x+1)^2+8=0

Die Schnittpunkte sind $(-3,0)$ und $(1,0)$ . Da sich die Parabel vom Maximum $8$ nach unten öffnet, ist ihr Wertebereich $(-\infty,8]$ .