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Eine quadratische Funktion aufzustellen bedeutet, aus den gegebenen Informationen zu bestimmen. Welche Methode am schnellsten zum Ziel führt, hängt davon ab, ob Punkte, ein Scheitelpunkt, Nullstellen oder eine Symmetrie bekannt sind.
In diesem Kapitel werden drei äquivalente Formen verwendet:
Diese drei Formen beschreiben dieselbe Funktion und lassen sich ineinander umformen.
Drei Punkte mit verschiedenen -Koordinaten bestimmen genau ein Polynom vom Grad höchstens . Es ist nur dann eine quadratische Funktion, wenn der berechnete Koeffizient erfüllt.
Für die Punkte , und werden die Koordinaten in die allgemeine Form eingesetzt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für , und .
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.
Die Koordinaten in die allgemeine Form einsetzen:
Die Gleichungen vereinfachen:
in die erste und dritte Gleichung einsetzen:
Die beiden Gleichungen vereinfachen und addieren, um zu bestimmen:
Den ermittelten Wert von in einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Sind der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt auf dem Graphen bekannt, kann mit der Scheitelpunktform der Streckfaktor bestimmt werden.
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt , deren Graph durch verläuft.
In der Scheitelpunktform gilt und .
Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der -Achse, und sowie ein weiterer Punkt mit , und bekannt, lässt sich mit der Produktform bestimmen.
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen und , deren Graph durch verläuft.
In der Produktform gilt und .
Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Aus der Symmetrieachse, also der -Koordinate des Scheitelpunkts, und der Diskriminante lässt sich eine Familie quadratischer Funktionen bestimmen.
Beispiel:
Bestimme eine quadratische Funktion mit der Symmetrieachse und der Diskriminante .
Aus folgt und damit .
Aus folgt außerdem .
in die Gleichung der Diskriminante einsetzen:
Viele Paare von und erfüllen diese Gleichung. Die Angaben bestimmen also keine eindeutige Funktion. Für ein einfaches Beispiel wird gewählt.
Mit , und erhält man:
Auch symmetrisch liegende Punkte können zur Bestimmung einer quadratischen Funktion genutzt werden.
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.
Die Punkte und haben denselben -Wert und liegen gleich weit von der -Achse entfernt. Der Graph ist daher zur -Achse symmetrisch. Seine Symmetrieachse ist , und der Scheitelpunkt liegt bei .
In der Scheitelpunktform gilt und .
Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Um in die Scheitelpunktform umzuwandeln:
Um über den reellen Zahlen in die Produktform umzuwandeln, wird zuerst geprüft, ob die Diskriminante nichtnegativ ist:
Die Nullstellen der Gleichung mit der Lösungsformel bestimmen:
Für und die reellen Nullstellen und gilt:
Für besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen und lässt sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.
Die Produktform wird durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form umgewandelt:
Der Vergleich mit der allgemeinen Form liefert:
Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.
Ausführliche Lösung:
Die Punkte in die allgemeine Form einsetzen:
Aus der zweiten Gleichung folgt . Diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzen:
Anschließend in die dritte Gleichung einsetzen:
Danach die verbleibenden Koeffizienten berechnen:
Die gesuchte quadratische Funktion lautet:
Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt , deren Graph durch verläuft.
Ausführliche Lösung:
In der Scheitelpunktform gilt und :
Den Punkt einsetzen:
Die gesuchte quadratische Funktion lautet:
Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen und sowie dem Maximalwert .
Ausführliche Lösung:
In der Produktform gilt und :
Da die Funktion einen Maximalwert besitzt, muss gelten.
Der Scheitelpunkt liegt bei .
in die Produktform einsetzen und den Maximalwert verwenden:
Die gesuchte quadratische Funktion lautet:
