Quadratische Funktionen aufstellen

Die Funktionsform anhand bekannter Punkte oder Nullstellen wählen

Eine quadratische Funktion aufzustellen bedeutet, $f(x) = ax^2 + bx + c$ aus den gegebenen Informationen zu bestimmen. Bekannte Punkte führen zu $einem Gleichungssystem für die Koeffizienten$ , bekannte Nullstellen zur $Produktform$ und ein bekannter Scheitelpunkt zur Scheitelpunktform.

Formen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen lassen sich in drei äquivalenten Formen schreiben:

$Allgemeine Form$ : $f(x) = ax^2 + bx + c$
$Produktform$ : $f(x) = a(x - p)(x - q)$ , wenn die reellen Nullstellen $p$ und $q$ existieren
$Scheitelpunktform$ : $f(x) = a(x - h)^2 + k$ , wobei $(h, k)$ der Scheitelpunkt ist

Diese drei Formen beschreiben dieselbe Funktion und lassen sich ineinander umformen.

x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=(x-1)^2-4

Methoden zur Konstruktion quadratischer Funktionen

Wähle die Form, die $bekannte Angaben direkt verwendet$ . Drei Punkte liefern Gleichungen für die Koeffizienten. Zu einem Scheitelpunkt brauchst du einen weiteren Punkt außerhalb der Symmetrieachse. Bei zwei Nullstellen bestimmt erst ein zusätzlicher Punkt den Streckfaktor.

Drei Punkte

Drei Punkte mit $verschiedenen$ $x$ -Koordinaten bestimmen genau ein Polynom vom Grad höchstens $2$ . Es ist nur dann eine quadratische Funktion, wenn der berechnete Koeffizient $a\neq0$ erfüllt.

Für die Punkte $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ und $(x_3, y_3)$ werden die Koordinaten in die allgemeine Form eingesetzt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für $a$ , $b$ und $c$ .

y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $K(-1, 0)$ , $L(0, -3)$ und $M(1, -4)$ verläuft.

Die Koordinaten in die allgemeine Form einsetzen:

K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c

Die Gleichungen vereinfachen:

0 = a - b + c

$c = -3$ in die erste und dritte Gleichung einsetzen:

0 = a - b - 3

Die beiden Gleichungen vereinfachen und addieren, um $a$ zu bestimmen:

a - b = 3

Den ermittelten Wert von $a$ in $a - b = 3$ einsetzen, um $b$ zu bestimmen:

1 - b = 3

Damit lautet die quadratische Funktion:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Drei Punkte einer Parabel

Die Kurve x² - 2x - 3 verläuft durch K(-1,0), L(0,-3) und M(1,-4).

Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt

Sind der Scheitelpunkt $(h, k)$ und ein weiterer Punkt $(p, q)$ auf dem Graphen bekannt, kann mit der Scheitelpunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ der Streckfaktor $a$ bestimmt werden.

Der zusätzliche Punkt muss $p\ne h$ erfüllen, damit du den $Streckfaktor bestimmen$ kannst. Für $q=k$ ergibt sich $a=0$ , also keine quadratische Funktion:

q=a(p-h)^2+k\quad\Rightarrow\quad a=\frac{q-k}{(p-h)^2}

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $(2, 0)$ , deren Graph durch $(4, 4)$ verläuft.

In der Scheitelpunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ gilt $h = 2$ und $k = 0$ .

f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2

Den Punkt $(4, 4)$ einsetzen, um $a$ zu bestimmen:

4 = a(4 - 2)^2

Damit lautet die quadratische Funktion:

f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Scheitel und weiterer Punkt

Die Kurve (x-2)² hat den Scheitel (2,0) und verläuft durch (4,4).

Nullstellen und ein weiterer Punkt

Sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, $p$ und $q$ sowie ein weiterer Punkt $(r, s)$ mit $r\neq p$ , $r\neq q$ und $s\neq0$ bekannt, lässt sich $a$ mit der $Produktform$ $f(x) = a(x - p)(x - q)$ bestimmen.

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen $x = -2$ und $x = 3$ , deren Graph durch $(1, -6)$ verläuft.

In der Produktform $f(x) = a(x - p)(x - q)$ gilt $p = -2$ und $q = 3$ .

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-2))(x - 3) \\ &= a(x + 2)(x - 3) \end{aligned}

Den Punkt $(1, -6)$ einsetzen, um $a$ zu bestimmen:

-6 = a(1 + 2)(1 - 3)

Damit lautet die quadratische Funktion:

\begin{aligned} f(x) &= (x + 2)(x - 3) \\ &= x^2 - x - 6 \end{aligned}

Nullstellen und weiterer Punkt

Die Kurve x² - x - 6 schneidet die waagerechte Achse bei -2 und 3 und verläuft durch (1,-6).

Eine Funktion aus zwei Bedingungen festlegen

Aus der Symmetrieachse, also der $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts, und der Diskriminante lassen sich mehrere quadratische Funktionen bestimmen.

$Beispiel$ :

Bestimme eine quadratische Funktion mit der Symmetrieachse $x = 1$ und der Diskriminante $D = 16$ .

Aus $x = 1$ folgt $-\frac{b}{2a} = 1$ und damit $b = -2a$ .

Aus $D = 16$ folgt außerdem $b^2 - 4ac = 16$ .

$b = -2a$ in die Gleichung der Diskriminante einsetzen:

(-2a)^2 - 4ac = 16

Viele Paare von $a$ und $c$ erfüllen diese Gleichung. Die Angaben bestimmen also keine eindeutige Funktion. Für ein einfaches Beispiel wird $a = 1$ gewählt.

1(1 - c) = 4

Mit $a = 1$ , $b = -2$ und $c = -3$ erhält man:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Ein anderer Leitkoeffizient liefert eine $andere Funktion mit denselben Bedingungen$ :

a=2,\quad b=-4,\quad c=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=2x^2-4x,\quad -\frac b{2a}=1,\quad D=16

Symmetrisch liegende Punkte

Auch symmetrisch liegende Punkte können zur Bestimmung einer quadratischen Funktion genutzt werden.

Gleiche Funktionswerte bei entgegengesetzten Eingaben erzwingen einen $linearen Koeffizienten null$ . Das Einsetzen der beiden Punkte zeigt dies:

f(4)-f(-4)=(16a+4b+c)-(16a-4b+c)=8b=1-1=0

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $(0, 0)$ , $(4, 1)$ und $(-4, 1)$ verläuft.

Die Punkte $(4, 1)$ und $(-4, 1)$ haben denselben $y$ -Wert und liegen gleich weit von der $y$ -Achse entfernt. Der Graph ist daher zur $y$ -Achse symmetrisch. Seine Symmetrieachse ist $x = 0$ , und der Scheitelpunkt liegt bei $(0, 0)$ .

In der Scheitelpunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ gilt $h = 0$ und $k = 0$ .

f(x) = ax^2

Den Punkt $(4, 1)$ einsetzen, um $a$ zu bestimmen:

1 = a(4)^2

Damit lautet die quadratische Funktion:

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Symmetrische Punkte

Die Kurve x²/16 verläuft durch (0,0) und die gleich hohen Punkte (-4,1) und (4,1).

Zwischen den Darstellungsformen wechseln

Der Formwechsel verwendet $algebraische Identitäten$ . Deshalb bleibt jeder Funktionswert gleich. Die Scheitelpunktform existiert immer. Für eine Produktform aus reellen Linearfaktoren müssen reelle Nullstellen vorliegen.

Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Klammere den Leitkoeffizienten aus. Anschließend $addierst und subtrahierst du dasselbe Quadrat$ innerhalb der Klammer. So verändert sich der Funktionswert nicht:

\begin{aligned} f(x)&=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\&=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\end{aligned}

Allgemeine Form in Produktform

Um $f(x) = ax^2 + bx + c$ über den reellen Zahlen in die Produktform umzuwandeln, wird zuerst geprüft, ob die $Diskriminante nichtnegativ$ ist:

Die Nullstellen der Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit der Lösungsformel bestimmen:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Für $D\ge0$ und die reellen Nullstellen $p$ und $q$ gilt:

$f(x) = a(x - p)(x - q)$

Für $D<0$ besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen und lässt sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.

Produktform in allgemeine Form

Die Produktform $f(x) = a(x - p)(x - q)$ wird durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ umgewandelt:

f(x) = a(x - p)(x - q)

Der $Koeffizientenvergleich$ mit der allgemeinen Form liefert:

$b = -a(p+q)$
$c = apq$

Aufgaben und ausführliche Lösungen

Wähle die $Form passend zu den Bedingungen$ und bestimme die fehlenden Koeffizienten. Setze danach jeden gegebenen Punkt zur Kontrolle ein. Damit prüfst du, ob alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.

Erste Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $(-2, 4)$ , $(1, -5)$ und $(3, 7)$ verläuft.

$Ausführliche Lösung$ :

Die Punkte in die allgemeine Form einsetzen:

\begin{aligned} 4 &= a(-2)^2 + b(-2) + c \\ &= 4a - 2b + c \end{aligned}

Aus der zweiten Gleichung folgt $c = -5 - a - b$ . Diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzen:

4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)

Anschließend in die dritte Gleichung einsetzen:

\begin{aligned} 7 &= 9(3 + b) + 3b \\ &\quad{}+ (-5 - (3 + b) - b) \end{aligned}

Danach die verbleibenden Koeffizienten berechnen:

a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}

Prüfe $alle drei Punkte$ mit der berechneten Funktion:

\begin{aligned}f(-2)&=\frac{36+12-28}{5}=4\\f(1)&=\frac{9-6-28}{5}=-5\\f(3)&=\frac{81-18-28}{5}=7\end{aligned}

Zweite Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $(-1, 4)$ , deren Graph durch $(2, -5)$ verläuft.

$Ausführliche Lösung$ :

In der $Scheitelpunktform$ gilt $h = -1$ und $k = 4$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-1))^2 + 4 \\ &= a(x + 1)^2 + 4 \end{aligned}

Den Punkt $(2, -5)$ einsetzen:

-5 = a(2 + 1)^2 + 4

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

\begin{aligned} f(x) &= -(x + 1)^2 + 4 \\ &= -x^2 - 2x + 3 \end{aligned}

Dritte Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen $x = -3$ und $x = 2$ sowie dem Maximalwert $4$ .

$Ausführliche Lösung$ :

In der Produktform gilt $p = -3$ und $q = 2$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-3))(x - 2) \\ &= a(x + 3)(x - 2) \end{aligned}

Da die Funktion einen $Maximalwert$ besitzt, muss $a < 0$ gelten.

Der Scheitelpunkt liegt bei $x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ .

$x = -\frac{1}{2}$ in die Produktform einsetzen und den Maximalwert $4$ verwenden:

\begin{aligned} f(-\frac{1}{2}) &= a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) \\ &= -a\frac{25}{4} \\ &= 4 \end{aligned}

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

\begin{aligned} f(x) &= -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) \\ &= -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25} \end{aligned}

Die Funktionsform anhand bekannter Punkte oder Nullstellen wählen

Formen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen lassen sich in drei äquivalenten Formen schreiben:

$Allgemeine Form$ : $f(x) = ax^2 + bx + c$
$Produktform$ : $f(x) = a(x - p)(x - q)$ , wenn die reellen Nullstellen $p$ und $q$ existieren
$Scheitelpunktform$ : $f(x) = a(x - h)^2 + k$ , wobei $(h, k)$ der Scheitelpunkt ist

Diese drei Formen beschreiben dieselbe Funktion und lassen sich ineinander umformen.

x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=(x-1)^2-4

Methoden zur Konstruktion quadratischer Funktionen

Drei Punkte

Drei Punkte mit $verschiedenen$ $x$ -Koordinaten bestimmen genau ein Polynom vom Grad höchstens $2$ . Es ist nur dann eine quadratische Funktion, wenn der berechnete Koeffizient $a\neq0$ erfüllt.

Für die Punkte $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ und $(x_3, y_3)$ werden die Koordinaten in die allgemeine Form eingesetzt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für $a$ , $b$ und $c$ .

y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $K(-1, 0)$ , $L(0, -3)$ und $M(1, -4)$ verläuft.

Die Koordinaten in die allgemeine Form einsetzen:

K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c

Die Gleichungen vereinfachen:

0 = a - b + c

$c = -3$ in die erste und dritte Gleichung einsetzen:

0 = a - b - 3

Die beiden Gleichungen vereinfachen und addieren, um $a$ zu bestimmen:

a - b = 3

Den ermittelten Wert von $a$ in $a - b = 3$ einsetzen, um $b$ zu bestimmen:

1 - b = 3

Damit lautet die quadratische Funktion:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Drei Punkte einer Parabel

Die Kurve x² - 2x - 3 verläuft durch K(-1,0), L(0,-3) und M(1,-4).

Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt

Sind der Scheitelpunkt $(h, k)$ und ein weiterer Punkt $(p, q)$ auf dem Graphen bekannt, kann mit der Scheitelpunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ der Streckfaktor $a$ bestimmt werden.

Der zusätzliche Punkt muss $p\ne h$ erfüllen, damit du den $Streckfaktor bestimmen$ kannst. Für $q=k$ ergibt sich $a=0$ , also keine quadratische Funktion:

q=a(p-h)^2+k\quad\Rightarrow\quad a=\frac{q-k}{(p-h)^2}

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $(2, 0)$ , deren Graph durch $(4, 4)$ verläuft.

In der Scheitelpunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ gilt $h = 2$ und $k = 0$ .

f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2

Den Punkt $(4, 4)$ einsetzen, um $a$ zu bestimmen:

4 = a(4 - 2)^2

Damit lautet die quadratische Funktion:

f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Scheitel und weiterer Punkt

Die Kurve (x-2)² hat den Scheitel (2,0) und verläuft durch (4,4).

Nullstellen und ein weiterer Punkt

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen $x = -2$ und $x = 3$ , deren Graph durch $(1, -6)$ verläuft.

In der Produktform $f(x) = a(x - p)(x - q)$ gilt $p = -2$ und $q = 3$ .

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-2))(x - 3) \\ &= a(x + 2)(x - 3) \end{aligned}

Den Punkt $(1, -6)$ einsetzen, um $a$ zu bestimmen:

-6 = a(1 + 2)(1 - 3)

Damit lautet die quadratische Funktion:

\begin{aligned} f(x) &= (x + 2)(x - 3) \\ &= x^2 - x - 6 \end{aligned}

Nullstellen und weiterer Punkt

Die Kurve x² - x - 6 schneidet die waagerechte Achse bei -2 und 3 und verläuft durch (1,-6).

Eine Funktion aus zwei Bedingungen festlegen

Aus der Symmetrieachse, also der $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts, und der Diskriminante lassen sich mehrere quadratische Funktionen bestimmen.

$Beispiel$ :

Bestimme eine quadratische Funktion mit der Symmetrieachse $x = 1$ und der Diskriminante $D = 16$ .

Aus $x = 1$ folgt $-\frac{b}{2a} = 1$ und damit $b = -2a$ .

Aus $D = 16$ folgt außerdem $b^2 - 4ac = 16$ .

$b = -2a$ in die Gleichung der Diskriminante einsetzen:

(-2a)^2 - 4ac = 16

Viele Paare von $a$ und $c$ erfüllen diese Gleichung. Die Angaben bestimmen also keine eindeutige Funktion. Für ein einfaches Beispiel wird $a = 1$ gewählt.

1(1 - c) = 4

Mit $a = 1$ , $b = -2$ und $c = -3$ erhält man:

f(x) = x^2 - 2x - 3

Ein anderer Leitkoeffizient liefert eine $andere Funktion mit denselben Bedingungen$ :

a=2,\quad b=-4,\quad c=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=2x^2-4x,\quad -\frac b{2a}=1,\quad D=16

Symmetrisch liegende Punkte

Auch symmetrisch liegende Punkte können zur Bestimmung einer quadratischen Funktion genutzt werden.

Gleiche Funktionswerte bei entgegengesetzten Eingaben erzwingen einen $linearen Koeffizienten null$ . Das Einsetzen der beiden Punkte zeigt dies:

f(4)-f(-4)=(16a+4b+c)-(16a-4b+c)=8b=1-1=0

$Beispiel$ :

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $(0, 0)$ , $(4, 1)$ und $(-4, 1)$ verläuft.

In der Scheitelpunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ gilt $h = 0$ und $k = 0$ .

f(x) = ax^2

Den Punkt $(4, 1)$ einsetzen, um $a$ zu bestimmen:

1 = a(4)^2

Damit lautet die quadratische Funktion:

f(x) = \frac{1}{16}x^2

Symmetrische Punkte

Die Kurve x²/16 verläuft durch (0,0) und die gleich hohen Punkte (-4,1) und (4,1).

Zwischen den Darstellungsformen wechseln

Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Klammere den Leitkoeffizienten aus. Anschließend $addierst und subtrahierst du dasselbe Quadrat$ innerhalb der Klammer. So verändert sich der Funktionswert nicht:

\begin{aligned} f(x)&=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\&=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\end{aligned}

Allgemeine Form in Produktform

Um $f(x) = ax^2 + bx + c$ über den reellen Zahlen in die Produktform umzuwandeln, wird zuerst geprüft, ob die $Diskriminante nichtnegativ$ ist:

Die Nullstellen der Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit der Lösungsformel bestimmen:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Für $D\ge0$ und die reellen Nullstellen $p$ und $q$ gilt:

$f(x) = a(x - p)(x - q)$

Für $D<0$ besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen und lässt sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.

Produktform in allgemeine Form

Die Produktform $f(x) = a(x - p)(x - q)$ wird durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ umgewandelt:

f(x) = a(x - p)(x - q)

Der $Koeffizientenvergleich$ mit der allgemeinen Form liefert:

$b = -a(p+q)$
$c = apq$

Aufgaben und ausführliche Lösungen

Erste Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $(-2, 4)$ , $(1, -5)$ und $(3, 7)$ verläuft.

$Ausführliche Lösung$ :

Die Punkte in die allgemeine Form einsetzen:

\begin{aligned} 4 &= a(-2)^2 + b(-2) + c \\ &= 4a - 2b + c \end{aligned}

Aus der zweiten Gleichung folgt $c = -5 - a - b$ . Diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzen:

4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)

Anschließend in die dritte Gleichung einsetzen:

\begin{aligned} 7 &= 9(3 + b) + 3b \\ &\quad{}+ (-5 - (3 + b) - b) \end{aligned}

Danach die verbleibenden Koeffizienten berechnen:

a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}

Prüfe $alle drei Punkte$ mit der berechneten Funktion:

\begin{aligned}f(-2)&=\frac{36+12-28}{5}=4\\f(1)&=\frac{9-6-28}{5}=-5\\f(3)&=\frac{81-18-28}{5}=7\end{aligned}

Zweite Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $(-1, 4)$ , deren Graph durch $(2, -5)$ verläuft.

$Ausführliche Lösung$ :

In der $Scheitelpunktform$ gilt $h = -1$ und $k = 4$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-1))^2 + 4 \\ &= a(x + 1)^2 + 4 \end{aligned}

Den Punkt $(2, -5)$ einsetzen:

-5 = a(2 + 1)^2 + 4

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

\begin{aligned} f(x) &= -(x + 1)^2 + 4 \\ &= -x^2 - 2x + 3 \end{aligned}

Dritte Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen $x = -3$ und $x = 2$ sowie dem Maximalwert $4$ .

$Ausführliche Lösung$ :

In der Produktform gilt $p = -3$ und $q = 2$ :

\begin{aligned} f(x) &= a(x - (-3))(x - 2) \\ &= a(x + 3)(x - 2) \end{aligned}

Da die Funktion einen $Maximalwert$ besitzt, muss $a < 0$ gelten.

Der Scheitelpunkt liegt bei $x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ .

$x = -\frac{1}{2}$ in die Produktform einsetzen und den Maximalwert $4$ verwenden:

\begin{aligned} f(-\frac{1}{2}) &= a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) \\ &= -a\frac{25}{4} \\ &= 4 \end{aligned}

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

\begin{aligned} f(x) &= -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) \\ &= -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25} \end{aligned}