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Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidet, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Sein Betrag entscheidet, wie schmal oder breit die Parabel wird, denn ein größerer Betrag zieht beide Äste näher an die Symmetrieachse.
Für öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen Tiefpunkt.
Beispiele für Funktionen mit :
Das Vorzeichen von bestimmt die Öffnungsrichtung. Der Betrag bestimmt die Breite: Im Vergleich zu ist der Graph für schmaler und für breiter.
Für öffnet sich die Parabel nach unten und besitzt einen Hochpunkt.
Beispiele für Funktionen mit :
Beim zweiten Beispiel zeigt die quadratische Ergänzung den Maximalwert. Multiplizierst du ein nichtnegatives Quadrat mit einer negativen Zahl, ist das Ergebnis stets nichtpositiv.
Für entfällt der quadratische Term. Der Ausdruck ist für linear und für konstant. Beispielsweise ergibt eine schräge Gerade und eine waagerechte Gerade.
Bei einer Geraden verändert eine Erhöhung der Eingabe um eins den Funktionswert immer um denselben linearen Koeffizienten. Eine Gerade wechselt ihre Steigungsrichtung nicht, wie es die Parabel am Scheitel tut.
Mit Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Achsenschnittpunkten legst du die Lage der Parabel fest. Nicht jede Parabel schneidet die waagerechte Achse. Der Leitkoeffizient bestimmt weiterhin die Breite, besonders wenn mehrere Merkmale im selben Punkt zusammenfallen.
Die quadratische Ergänzung zeigt den Extremwert, denn ein Quadrat ist nichtnegativ. Bei liegt das Minimum bei :
Zwei Punkte mit gleichem Abstand zur Symmetrieachse haben dieselbe Höhe. Bei verwenden wir den Abstand von der Geraden :
Für den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse setzt du den Eingabewert null ein. Alle variablen Terme verschwinden. Bei gilt:
Für Schnittpunkte mit der waagerechten Achse muss der Funktionswert null sein. Die Faktorisierung von liefert zwei Lösungen. Bei negativer Diskriminante gäbe es keine reellen Schnittpunkte mit dieser Achse:
Die Beispiele unten zeichnen eine nach oben und eine nach unten geöffnete Parabel. Jeder Zeichenschritt ist ausgeschrieben, sodass die Form mit der Formel verglichen werden kann.
Wir zeichnen die Funktion :
Schritt 1: Koeffizient , also öffnet sich die Parabel nach oben. Schritt 2: Scheitelpunkt:
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
Schritt 3: -Achsenabschnitt:
Der -Achsenabschnitt liegt also bei .
Schritt 4: Schnittpunkte auf der -Achse: oder
Mit der quadratischen Formel folgt:
Die Schnittpunkte auf der -Achse sind also und .
Schritt 5: Für die Form des Graphen berechnen wir zwei weitere Punkte:
Wir zeichnen die Funktion :
Schritt 1: Koeffizient , also öffnet sich die Parabel nach unten. Schritt 2: Scheitelpunkt:
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
Schritt 3: -Achsenabschnitt:
Der -Achsenabschnitt liegt also bei .
Schritt 4: Schnittpunkte auf der -Achse: oder
Der -Achsenabschnitt liegt also bei .
Schritt 5: Für die Form des Graphen berechnen wir weitere Punkte:
Die Tabelle verwendet alle reellen Zahlen als Definitionsbereich. Bei eingeschränktem Definitionsbereich wird der Extremwert möglicherweise nicht erreicht. Schreibe den Scheitel als mit .
| Bedingung | Öffnung | Extremwert | Wertebereich |
|---|---|---|---|
| Nach oben | Minimum | ||
| Nach unten | Maximum |
Diese Aufgabe prüft an einer einzigen Funktion die ganze Merkmalsliste, deshalb muss die Antwort jedes Merkmal nennen.
Untersuche den Graphen von . Bestimme Öffnungsrichtung, Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkte und Wertebereich.
Die Funktion liegt bereits in der Scheitelpunktform vor. Hier gilt , und .
Für den Schnittpunkt mit der -Achse setzen wir ein:
Der Graph schneidet die -Achse also bei . Für die Schnittpunkte mit der -Achse lösen wir :
Die Schnittpunkte sind und . Da sich die Parabel vom Maximum nach unten öffnet, ist ihr Wertebereich .
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