Quadratische Gleichungen faktorisieren

Nullstellen aus der Produktform ablesen

Beim Faktorisieren schreiben wir eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ als Produkt. Lässt sie sich in der Form $a(x - p)(x - q) = 0$ darstellen, dann sind $p$ und $q$ ihre Nullstellen.

Nullstellen sind die Werte von $x$, für die die Gleichung null ergibt. In der Produktform bestimmst du die Nullstellen, indem du jeden Faktor gleich null setzt.

Grundprinzipien der Faktorisierung

Eine quadratische Gleichung in Standardform wird geschrieben als:

In dieser Standardform sind $a$, $b$ und $c$ Konstanten, und $a \neq 0$.

Die Faktorisierung nutzt die Nullproduktregel: Ist ein Produkt null, muss mindestens ein Faktor null sein.

Das bedeutet, wenn $(x - p)(x - q) = 0$, dann:

• $x - p = 0$ oder $x - q = 0$
• Also $x = p$ oder $x = q$

Faktoren als Rechteckseiten

Für $x>0$ bilden die Seiten $x+3$ und $x+2$ ein Rechteck. Die beiden mittleren Teilflächen ergeben zusammen $3x+2x=5x$. Deshalb ist die Summe aller vier Flächen gleich dem Produkt der Seitenlängen.

Die Zeichnung verwendet $x=2$. Die Gesamtfläche ist also $4+6+4+6=20=5\times4$. Die algebraische Identität gilt für alle reellen Zahlen, doch das Seitenlängenmodell verwendet positive Werte. Negative Nullstellen sind keine negativen geometrischen Längen.

Schritte zum Faktorisieren quadratischer Gleichungen

Suche bei ganzzahligen Koeffizienten zwei ganze Zahlen mit dem Produkt $ac$ und der Summe $b$. Falls du ein solches Paar findest, kannst du mit den folgenden vier Schritten durch Gruppierung faktorisieren.

1. Bringe die Gleichung in die Standardform mit null auf der rechten Seite
2. Suche zwei Zahlen mit dem Produkt $ac$ und der Summe $b$
3. Zerlege den mittleren Term mithilfe dieser Zahlen und faktorisiere durch Gruppierung
4. Bestimme aus den Faktoren die Nullstellen

Beispiele für die Faktorisierung quadratischer Gleichungen

Die drei Beispiele verwenden Zahlenpaare mit dem Produkt $ac$ und der Summe $b$. Der Leitkoeffizient und das Vorzeichen der Konstanten ändern sich, aber die Begründung für die Gruppierung bleibt gleich.

Beispiel 1

In dieser Gleichung sind $a = 1$, $b = 5$ und $c = 6$.

Schritt 1: Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.

Schritt 2: Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:

• Ihr Produkt ist $ac = 1 \times 6 = 6$
• Ihre Summe ist $b = 5$

Positive Faktoren von $6$ sind $1$, $2$, $3$ und $6$. Mögliche Faktorpaare sind $(1, 6)$ und $(2, 3)$. Das Paar $(2, 3)$ ergibt eine Summe von $5$, was dem Wert von $b$ entspricht.

Schritt 3: Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:

Schritt 4: Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:

• $x + 3 = 0$ → $x = -3$
• $x + 2 = 0$ → $x = -2$

Die Nullstellen sind also $x = -3$ und $x = -2$.

Beispiel 2

In dieser Gleichung sind $a = 3$, $b = 13$ und $c = -10$.

Schritt 1: Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.

Schritt 2: Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:

• Ihr Produkt ist $ac = 3 \times (-10) = -30$
• Ihre Summe ist $b = 13$

Faktoren von $-30$ sind Zahlenpaare mit entgegengesetzten Vorzeichen:

Das Paar $(15, -2)$ ergibt eine Summe von $13$, was dem Wert von $b$ entspricht.

Schritt 3: Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:

Anschließend gruppieren wir die Terme:

Schritt 4: Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:

• $3x - 2 = 0$ → $x = \frac{2}{3}$
• $x + 5 = 0$ → $x = -5$

Die Nullstellen sind also $x = \frac{2}{3}$ und $x = -5$.

Beispiel 3

In dieser Gleichung sind $a = 2$, $b = 5$ und $c = -3$.

Schritt 1: Wir berechnen $ac = 2 \times (-3) = -6$

Schritt 2: Wir suchen ein Faktorpaar von $-6$ mit der Summe $5$:

Faktoren von $-6$: $(1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3)$

Das Paar $(6, -1)$ ergibt eine Summe von $5$, was dem Wert von $b$ entspricht.

Schritt 3: Wir zerlegen $5x$ in $6x - x$:

Schritt 4: Faktorisieren durch Gruppierung:

Schritt 5: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen:

• $2x - 1 = 0$ → $x = \frac{1}{2}$
• $x + 3 = 0$ → $x = -3$

Die Nullstellen sind also $x = \frac{1}{2}$ und $x = -3$.

Faktorisieren mit einer bekannten Nullstelle

Kennen wir eine Nullstelle einer quadratischen Gleichung, kennen wir zugleich einen ihrer Linearfaktoren.

Beispiel: Eine Nullstelle der Gleichung $2x^2 - bx - 6 = 0$ ist $6$

Ist $x = 6$ eine Nullstelle, dann ist $(x - 6)$ ein Faktor.

Wir können $x = 6$ in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:

Jetzt können wir die Gleichung als $2x^2 - 11x - 6 = 0$ schreiben.

Nun faktorisieren wir durch Gruppierung:

Die Nullstellen sind $x = -\frac{1}{2}$ und $x = 6$.

Sonderfälle der Faktorisierung

Beispiel 1

Form $ax^2 + bx = 0$

Fehlt der konstante Term, können wir $x$ direkt ausklammern:

Die Nullstellen sind $x = 0$ und $x = -\frac{b}{a}$.

Beispiel: $2x^2 - 18x = 0$

Die Nullstellen sind $x = 0$ und $x = 9$.

Beispiel 2

Form $ax^2 - c = 0$

Für Gleichungen ohne einen $x$-Term wird zuerst $x^2$ isoliert. Über den reellen Zahlen setzt das Wurzelziehen $\frac{c}{a}\ge0$ voraus:

• Für $\frac{c}{a}>0$ gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen und eine Zerlegung in reelle Linearfaktoren.
• Für $\frac{c}{a}=0$ ist $x=0$ eine doppelte Nullstelle.
• Für $\frac{c}{a}<0$ gibt es weder reelle Nullstellen noch eine Zerlegung in reelle Linearfaktoren. Über den komplexen Zahlen lauten die Lösungen $x=\pm i\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Beispiel: $2x^2 - 18 = 0$

Die Nullstellen sind $x = 3$ und $x = -3$.

Beispiel mit komplexen Lösungen: $2x^2 + 18 = 0$

Die Lösungen sind $x = 3i$ und $x = -3i$. Probe mit der Formel oben: $c/a = -9$, also $x = \pm i\sqrt{9} = \pm 3i$.

Wenn ganzzahlige Faktorpaare nicht funktionieren

Nicht jede quadratische Gleichung hat rationale Faktoren. Gibt es kein passendes Faktorpaar, hilft ein anderes Verfahren wie die Lösungsformel:

Bei ganzzahligen Koeffizienten hat die Gleichung genau dann rationale Nullstellen, wenn die Diskriminante $b^2 - 4ac$ eine nichtnegative Quadratzahl ist.

Übungsaufgaben

Suche zwei Zahlen mit dem Produkt $ac$ und der Summe $b$. Das Produkt ist nicht einfach der konstante Term. Bei der fünften Aufgabe hilft die Differenz zweier Quadrate. Setze anschließend jeden Faktor gleich null.

Faktorisiere die folgenden quadratischen Gleichungen:

1. $x^2 + 6x + 5 = 0$
2. $2x^2 + 5x + 2 = 0$
3. $3x^2 - x - 2 = 0$
4. $2x^2 - 8x + 6 = 0$
5. $x^2 - 9 = 0$

Ausgearbeitete Lösungen

Aufgabe 1. Löse die Gleichung $x^2 + 6x + 5 = 0$.

Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten

Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt $ac = 5$ und der Summe $b = 6$.

Wähle Faktoren von $5$ mit der benötigten Summe:

Schritt 3: Faktorisierung

Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen

Die Nullstellen sind also $x = -5$ und $x = -1$.

Aufgabe 2. Löse die Gleichung $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten

Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt $ac = 2 \times 2 = 4$ und der Summe $b = 5$.

Wähle Faktoren von $4$ mit der benötigten Summe:

Schritt 3: Faktorisierung

Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen

Die Nullstellen sind also $x = -\frac{1}{2}$ und $x = -2$.

Aufgabe 3. Löse die Gleichung $3x^2 - x - 2 = 0$.

Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten

Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt $ac = 3 \times (-2) = -6$ und der Summe $b = -1$.

Wähle Faktoren von $-6$ mit der benötigten Summe:

Schritt 3: Faktorisierung

Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen

Die Nullstellen sind also $x = -\frac{2}{3}$ und $x = 1$.

Aufgabe 4. Löse die Gleichung $2x^2 - 8x + 6 = 0$.

Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten

Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt $ac = 2 \times 6 = 12$ und der Summe $b = -8$.

Wähle Faktoren von $12$ mit der benötigten Summe:

Schritt 3: Faktorisierung

Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen

Die Nullstellen sind also $x = 1$ und $x = 3$.

Aufgabe 5. Löse die Gleichung $x^2 - 9 = 0$.

Schritt 1: Als Differenz von Quadraten identifizieren

Schritt 2: Wir verwenden die Formel für die Differenz zweier Quadrate $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Schritt 3: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen

Die Nullstellen sind also $x = -3$ und $x = 3$.