Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung in einer Variablen vom Grad . Ihre allgemeine Form lautet:
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Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung in einer Variablen vom Grad . Ihre allgemeine Form lautet:
wobei gilt und reelle Zahlen sind.
Der Begriff „quadratisch“ geht auf das lateinische Wort quadratus zurück, das „quadratisch“ oder „zum Quadrat erhoben“ bedeutet. Dazu passt die geometrische Deutung von als Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge .
Welche Lösungsmethode am günstigsten ist, hängt von der Form der Gleichung ab. Drei gebräuchliche Methoden sind Faktorisieren, quadratische Ergänzung und die Lösungsformel.
Beim Faktorisieren wird die quadratische Gleichung als Produkt zweier linearer Faktoren geschrieben. Zum Beispiel:
Aus der Produktform folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Die Lösungen sind und .
Bei dieser Methode wird die linke Seite zu einem binomischen Quadrat ergänzt.
Beispiel:
Alle Terme durch teilen:
Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:
Auf beiden Seiten addieren:
Anschließend die Quadratwurzel ziehen:
Für liefert die Lösungsformel beide Lösungen:
Beispiel:
Hier gilt , und :
Die beiden Vorzeichen liefern:
Quadratische Gleichungen eignen sich für Größen, deren Zusammenhang Produkte oder Quadrate enthält.
In einem großen Raum werden vier gleich große Leseecken eingerichtet. Jede Ecke ist ein Quadrat mit der Seitenlänge . Für die übrige Fläche gilt:
Zwei Zahlen haben das Produkt und die Summe . Mit einer quadratischen Gleichung lassen sich beide Zahlen bestimmen.
Die beiden Zahlen werden mit und bezeichnet. Dann gilt:
Den Wert von in die Produktgleichung einsetzen:
Die quadratische Gleichung faktorisieren:
Die gesuchten Zahlen sind und .
Ein Fahrzeug legt mit konstanter Geschwindigkeit zurück. Bei einer um höheren Geschwindigkeit wäre die Fahrzeit um kürzer. Gesucht ist die ursprüngliche Geschwindigkeit.
Die ursprüngliche Geschwindigkeit sei , die ursprüngliche Fahrzeit . Dann gilt:
Aus der ersten Gleichung folgt .
Einsetzen in die zweite Gleichung:
Mit multiplizieren und vereinfachen:
Eine negative Geschwindigkeit ist hier ausgeschlossen. Daher beträgt die ursprüngliche Geschwindigkeit . Die Fahrt dauert zunächst . Bei dauert sie und damit genau weniger.
Zwei typische Fehler lassen sich leicht vermeiden:
Die Summe fälschlich zu zusammenfassen.
Konkretes Beispiel: Ist ein Raum lang und wird um verlängert, beträgt die neue Länge und nicht .
Eine Gleichung allein wegen des Terms als quadratisch einstufen, ohne ihre Gesamtform zu prüfen.
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung der Form mit .
Welche der folgenden Gleichungen sind quadratisch?
Dies ist keine quadratische Gleichung, weil der Term die Variable im Nenner enthält.
Dies ist eine quadratische Gleichung der Form mit .
Dies ist keine quadratische Gleichung, weil der Term die Variable im Nenner enthält.
Quadratische Gleichungen identifizieren
Entscheide, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind:
Produkte ausmultiplizieren
Multipliziere die folgenden Produkte aus:
Quadratische Gleichungen identifizieren
Begründung: Keine quadratische Gleichung, denn der höchste Exponent ist wegen . Es handelt sich um eine kubische Gleichung.
Begründung: Quadratische Gleichung, denn sie hat die Form mit , und .
Begründung: Keine quadratische Gleichung, denn enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine Bruchgleichung.
Begründung: Keine quadratische Gleichung, denn enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine rationale Gleichung.
Produkte ausmultiplizieren
Rechnung:
Ausmultipliziert ergibt sich .
Rechnung:
Rechnung:
Lösen der resultierenden quadratischen Gleichungen
Nun werden die Gleichungen aus den ausmultiplizierten Produkten gelöst:
Rechnung: Faktorisieren:
Nach dem Satz vom Nullprodukt:
Die Lösungen sind und .
Rechnung: Mit der Lösungsformel:
Rechnung: Zunächst alle Terme durch teilen:
Dies ist keine quadratische Polynomgleichung, weil die Variable im Nenner steht. Nach dem Beseitigen der Nenner entsteht eine Gleichung höheren Grades.
Zur Vereinfachung alle Terme mit multiplizieren:
Ausmultipliziert ergibt sich oder äquivalent .
Der erste Faktor lässt sich außerdem als schreiben:
Ausmultipliziert ergibt sich .
Beide Vorzeichen auswerten:
Die Lösungen sind und .
Kontrolle durch Faktorisieren:
Faktorisieren:
Nach dem Satz vom Nullprodukt:
Die Lösungen sind und .