Nullstellen aus der Produktform ablesen
Beim Faktorisieren schreiben wir eine quadratische Gleichung als Produkt. Lässt sie sich in der Form darstellen, dann sind und ihre Nullstellen.
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Nullstellen sind die Werte von , für die die Gleichung null ergibt. In der Produktform bestimmst du die Nullstellen, indem du jeden Faktor gleich null setzt.
Eine quadratische Gleichung in Standardform wird geschrieben als:
In dieser Standardform sind , und Konstanten, und .
Die Faktorisierung nutzt die Nullproduktregel: Ist ein Produkt null, muss mindestens ein Faktor null sein.
Das bedeutet, wenn , dann:
Für bilden die Seiten und ein Rechteck. Die beiden mittleren Teilflächen ergeben zusammen . Deshalb ist die Summe aller vier Flächen gleich dem Produkt der Seitenlängen.
Die Zeichnung verwendet . Die Gesamtfläche ist also . Die algebraische Identität gilt für alle reellen Zahlen, doch das Seitenlängenmodell verwendet positive Werte. Negative Nullstellen sind keine negativen geometrischen Längen.
Suche bei ganzzahligen Koeffizienten zwei ganze Zahlen mit dem Produkt und der Summe . Falls du ein solches Paar findest, kannst du mit den folgenden vier Schritten durch Gruppierung faktorisieren.
Die drei Beispiele verwenden Zahlenpaare mit dem Produkt und der Summe . Der Leitkoeffizient und das Vorzeichen der Konstanten ändern sich, aber die Begründung für die Gruppierung bleibt gleich.
Beispiel 1
In dieser Gleichung sind , und .
Schritt 1: Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
Schritt 2: Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
Positive Faktoren von sind , , und . Mögliche Faktorpaare sind und . Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
Schritt 3: Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
Schritt 4: Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
Die Nullstellen sind also und .
Beispiel 2
In dieser Gleichung sind , und .
Schritt 1: Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
Schritt 2: Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
Faktoren von sind Zahlenpaare mit entgegengesetzten Vorzeichen:
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
Schritt 3: Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
Anschließend gruppieren wir die Terme:
Schritt 4: Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
Die Nullstellen sind also und .
Beispiel 3
In dieser Gleichung sind , und .
Schritt 1: Wir berechnen
Schritt 2: Wir suchen ein Faktorpaar von mit der Summe :
Faktoren von :
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
Schritt 3: Wir zerlegen in :
Schritt 4: Faktorisieren durch Gruppierung:
Schritt 5: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen:
Die Nullstellen sind also und .
Kennen wir eine Nullstelle einer quadratischen Gleichung, kennen wir zugleich einen ihrer Linearfaktoren.
Beispiel: Eine Nullstelle der Gleichung ist
Ist eine Nullstelle, dann ist ein Faktor.
Wir können in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
Jetzt können wir die Gleichung als schreiben.
Nun faktorisieren wir durch Gruppierung:
Die Nullstellen sind und .
Beispiel 1
Form
Fehlt der konstante Term, können wir direkt ausklammern:
Die Nullstellen sind und .
Beispiel:
Die Nullstellen sind und .
Beispiel 2
Form
Für Gleichungen ohne einen -Term wird zuerst isoliert. Über den reellen Zahlen setzt das Wurzelziehen voraus:
Beispiel:
Die Nullstellen sind und .
Beispiel mit komplexen Lösungen:
Die Lösungen sind und . Probe mit der Formel oben: , also .
Nicht jede quadratische Gleichung hat rationale Faktoren. Gibt es kein passendes Faktorpaar, hilft ein anderes Verfahren wie die Lösungsformel:
Bei ganzzahligen Koeffizienten hat die Gleichung genau dann rationale Nullstellen, wenn die Diskriminante eine nichtnegative Quadratzahl ist.
Suche zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe . Das Produkt ist nicht einfach der konstante Term. Bei der fünften Aufgabe hilft die Differenz zweier Quadrate. Setze anschließend jeden Faktor gleich null.
Faktorisiere die folgenden quadratischen Gleichungen:
Aufgabe 1. Löse die Gleichung .
Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt und der Summe .
Wähle Faktoren von mit der benötigten Summe:
Schritt 3: Faktorisierung
Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Aufgabe 2. Löse die Gleichung .
Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt und der Summe .
Wähle Faktoren von mit der benötigten Summe:
Schritt 3: Faktorisierung
Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Aufgabe 3. Löse die Gleichung .
Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt und der Summe .
Wähle Faktoren von mit der benötigten Summe:
Schritt 3: Faktorisierung
Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Aufgabe 4. Löse die Gleichung .
Schritt 1: Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt 2: Wir suchen ein Faktorenpaar mit dem Produkt und der Summe .
Wähle Faktoren von mit der benötigten Summe:
Schritt 3: Faktorisierung
Schritt 4: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Aufgabe 5. Löse die Gleichung .
Schritt 1: Als Differenz von Quadraten identifizieren
Schritt 2: Wir verwenden die Formel für die Differenz zweier Quadrate
Schritt 3: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
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