Was ist die Faktorisierung quadratischer Gleichungen?
Beim Faktorisieren schreiben wir eine quadratische Gleichung als Produkt. Lässt sie sich in der Form darstellen, dann sind und ihre Nullstellen.
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Beim Faktorisieren schreiben wir eine quadratische Gleichung als Produkt. Lässt sie sich in der Form darstellen, dann sind und ihre Nullstellen.
Nullstellen sind die Werte von , für die die Gleichung null ergibt. In der Produktform werden sie sichtbar, weil wir jeden Faktor gleich null setzen können.
Eine quadratische Gleichung in Standardform wird geschrieben als:
wobei , und Konstanten sind und .
Die Faktorisierung nutzt die Nullproduktregel: Ist ein Produkt null, muss mindestens ein Faktor null sein.
Das bedeutet, wenn , dann:
Eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten lässt sich durch Gruppierung in vier Schritten faktorisieren:
Wir faktorisieren die Gleichung:
In dieser Gleichung sind , und .
Schritt : Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
Schritt : Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
Faktoren von sind , , und . Mögliche Faktorpaare sind und . Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
Schritt : Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
Schritt : Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
Die Nullstellen sind also und .
Nun faktorisieren wir:
In dieser Gleichung sind , und .
Faktorisierung bei Koeffizient
Ist der Koeffizient nicht gleich , zerlegen wir den mittleren Term und gruppieren anschließend:
Methode mit Faktoren von
Kennen wir eine Nullstelle einer quadratischen Gleichung, kennen wir zugleich einen ihrer Linearfaktoren.
Beispiel: Eine Nullstelle der Gleichung ist
Ist eine Nullstelle, dann ist ein Faktor.
Wir können in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
Jetzt können wir die Gleichung als schreiben.
Nun faktorisieren wir durch Gruppierung:
Die Nullstellen sind und .
Form
Fehlt der konstante Term, können wir direkt ausklammern:
Die Nullstellen sind und .
Beispiel:
Die Nullstellen sind und .
Form
Für Gleichungen ohne einen -Term wird zuerst isoliert. Über den reellen Zahlen setzt das Wurzelziehen voraus:
Nicht jede quadratische Gleichung hat rationale Faktoren. Gibt es kein passendes Faktorpaar, hilft ein anderes Verfahren wie die Lösungsformel:
Bei ganzzahligen Koeffizienten hat die Gleichung genau dann rationale Nullstellen, wenn die Diskriminante eine nichtnegative Quadratzahl ist.
Faktorisiere die folgenden quadratischen Gleichungen:
Schritt : Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
Schritt : Faktorisierung
Schritt : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Schritt : Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt : Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt : Wir bestimmen die Koeffizienten
Schritt : Als Differenz von Quadraten identifizieren
Schritt : Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
Schritt : Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
Faktoren von sind Zahlenpaare mit entgegengesetzten Vorzeichen:
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
Schritt : Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
Anschließend gruppieren wir die Terme:
Schritt : Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
Die Nullstellen sind also und .
Beispiel für Faktorisierung:
In dieser Gleichung sind , und .
Schritt : Wir berechnen
Schritt : Wir suchen ein Faktorpaar von mit der Summe :
Faktoren von :
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
Schritt : Wir zerlegen in :
Schritt : Faktorisieren durch Gruppierung:
Schritt : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen:
Die Nullstellen sind also und .
Beispiel:
Die Nullstellen sind und .
Schritt : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
Schritt : Faktorisierung
Schritt : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Schritt : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
Schritt : Faktorisierung
Schritt : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Schritt : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
Schritt : Faktorisierung
Schritt : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
Schritt : Wir verwenden die Formel für die Differenz zweier Quadrate
Schritt : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .