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Quadratische Funktionen lassen sich in drei äquivalenten Formen schreiben:
Diese drei Formen beschreiben dieselbe Funktion und lassen sich ineinander umformen.
Wähle die Form, die bekannte Angaben direkt verwendet. Drei Punkte liefern Gleichungen für die Koeffizienten. Zu einem Scheitelpunkt brauchst du einen weiteren Punkt außerhalb der Symmetrieachse. Bei zwei Nullstellen bestimmt erst ein zusätzlicher Punkt den Streckfaktor.
Drei Punkte mit verschiedenen -Koordinaten bestimmen genau ein Polynom vom Grad höchstens . Es ist nur dann eine quadratische Funktion, wenn der berechnete Koeffizient erfüllt.
Für die Punkte , und werden die Koordinaten in die allgemeine Form eingesetzt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für , und .
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.
Die Koordinaten in die allgemeine Form einsetzen:
Die Gleichungen vereinfachen:
in die erste und dritte Gleichung einsetzen:
Die beiden Gleichungen vereinfachen und addieren, um zu bestimmen:
Den ermittelten Wert von in einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Sind der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt auf dem Graphen bekannt, kann mit der Scheitelpunktform der Streckfaktor bestimmt werden.
Der zusätzliche Punkt muss erfüllen, damit du den Streckfaktor bestimmen kannst. Für ergibt sich , also keine quadratische Funktion:
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt , deren Graph durch verläuft.
In der Scheitelpunktform gilt und .
Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der -Achse, und sowie ein weiterer Punkt mit , und bekannt, lässt sich mit der Produktform bestimmen.
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen und , deren Graph durch verläuft.
In der Produktform gilt und .
Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Aus der Symmetrieachse, also der -Koordinate des Scheitelpunkts, und der Diskriminante lassen sich mehrere quadratische Funktionen bestimmen.
Beispiel:
Bestimme eine quadratische Funktion mit der Symmetrieachse und der Diskriminante .
Aus folgt und damit .
Aus folgt außerdem .
in die Gleichung der Diskriminante einsetzen:
Viele Paare von und erfüllen diese Gleichung. Die Angaben bestimmen also keine eindeutige Funktion. Für ein einfaches Beispiel wird gewählt.
Mit , und erhält man:
Ein anderer Leitkoeffizient liefert eine andere Funktion mit denselben Bedingungen:
Auch symmetrisch liegende Punkte können zur Bestimmung einer quadratischen Funktion genutzt werden.
Gleiche Funktionswerte bei entgegengesetzten Eingaben erzwingen einen linearen Koeffizienten null. Das Einsetzen der beiden Punkte zeigt dies:
Beispiel:
Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.
Die Punkte und haben denselben -Wert und liegen gleich weit von der -Achse entfernt. Der Graph ist daher zur -Achse symmetrisch. Seine Symmetrieachse ist , und der Scheitelpunkt liegt bei .
In der Scheitelpunktform gilt und .
Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:
Damit lautet die quadratische Funktion:
Der Formwechsel verwendet algebraische Identitäten. Deshalb bleibt jeder Funktionswert gleich. Die Scheitelpunktform existiert immer. Für eine Produktform aus reellen Linearfaktoren müssen reelle Nullstellen vorliegen.
Klammere den Leitkoeffizienten aus. Anschließend addierst und subtrahierst du dasselbe Quadrat innerhalb der Klammer. So verändert sich der Funktionswert nicht:
Um über den reellen Zahlen in die Produktform umzuwandeln, wird zuerst geprüft, ob die Diskriminante nichtnegativ ist:
Die Nullstellen der Gleichung mit der Lösungsformel bestimmen:
Für und die reellen Nullstellen und gilt:
Für besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen und lässt sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.
Die Produktform wird durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form umgewandelt:
Der Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Form liefert:
Wähle die Form passend zu den Bedingungen und bestimme die fehlenden Koeffizienten. Setze danach jeden gegebenen Punkt zur Kontrolle ein. Damit prüfst du, ob alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.
Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.
Ausführliche Lösung:
Die Punkte in die allgemeine Form einsetzen:
Aus der zweiten Gleichung folgt . Diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzen:
Anschließend in die dritte Gleichung einsetzen:
Danach die verbleibenden Koeffizienten berechnen:
Die gesuchte quadratische Funktion lautet:
Prüfe alle drei Punkte mit der berechneten Funktion:
Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt , deren Graph durch verläuft.
Ausführliche Lösung:
In der Scheitelpunktform gilt und :
Den Punkt einsetzen:
Die gesuchte quadratische Funktion lautet:
Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen und sowie dem Maximalwert .
Ausführliche Lösung:
In der Produktform gilt und :
Da die Funktion einen Maximalwert besitzt, muss gelten.
Der Scheitelpunkt liegt bei .
in die Produktform einsetzen und den Maximalwert verwenden:
Die gesuchte quadratische Funktion lautet:
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