Quadratische Gleichungen

Gleichungen mit dem höchsten Exponenten zwei

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung in einer Variablen vom Grad $2$. Ihre allgemeine Form lautet:

In dieser Form sind $a, b, c$ reelle Zahlen, und $a \neq 0$.

Zweite Potenz und Quadratfläche

Ein Quadrat mit Seitenlänge $x$ hat die Fläche $x\cdot x=x^2$. Verdoppelst du die Seite, wird die Fläche viermal so groß, nicht zweimal so groß. Bei 2 Metern Seitenlänge beträgt sie 4 Quadratmeter, bei 4 Metern Seitenlänge 16 Quadratmeter.

Quadratische Gleichungen lösen

Der Aufbau der Gleichung bestimmt die praktischste Methode. Die folgenden Verfahren funktionieren, wenn ihre Rechenbedingungen erfüllt sind. Die Faktorisierung ist am schnellsten, wenn die Faktoren ganze Zahlen sind, die Lösungsformel funktioniert immer, und die quadratische Ergänzung zeigt zusätzlich den Scheitel.

Faktorisieren

Beim Faktorisieren wird die quadratische Gleichung als Produkt zweier linearer Faktoren geschrieben. Zum Beispiel:

Zerlege den mittleren Term in $-4x+x$, damit beide Gruppen einen gemeinsamen Faktor haben. Ist das Produkt gleich null, muss mindestens ein Faktor null sein:

Aus der Produktform folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

• Aus $2x + 1 = 0$ folgt $x = -\frac{1}{2}$.
• Aus $x - 2 = 0$ folgt $x = 2$.

Die Lösungen sind $x = -\frac{1}{2}$ und $x = 2$.

Quadratische Ergänzung

Bei dieser Methode wird die linke Seite zu einem binomischen Quadrat ergänzt.

Beispiel:

Alle Terme durch $2$ teilen:

Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:

Auf beiden Seiten $\left(\frac{-3/2}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}$ addieren:

Anschließend die Quadratwurzel ziehen:

Lösungsformel

Für $ax^2 + bx + c = 0$ liefert die Lösungsformel beide Lösungen:

Beispiel:

Hier gilt $a = 2$, $b = -3$ und $c = -2$:

Die beiden Vorzeichen liefern:

Sachsituationen als quadratische Gleichungen modellieren

Sachaufgaben verstecken die Gleichung in einer Beschreibung, deshalb übersetzt du zuerst jeden Satz in eine Größe. Erst wenn die Gleichung dasteht, wählst du die Lösungsmethode.

Quadratische Gleichungen eignen sich für Größen, deren Zusammenhang Produkte oder Quadrate enthält.

Leseecken in einem Raum

In einem $4 \text{ m} \times 6 \text{ m}$ großen Raum werden vier gleich große Leseecken eingerichtet. Jede Ecke ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $x \text{ m}$. Für die übrige Fläche gilt:

Ziehe die Fläche der vier Ecken von der Gesamtfläche ab.

Sollen 20 Quadratmeter frei bleiben, wird aus dem Flächenterm eine Gleichung. Die vier eingezeichneten Quadrate zeigen die Anordnung schematisch. Die Seitenlänge berechnest du aus der Flächenbedingung:

Eine Seitenlänge ist positiv, also gilt $x=1$ Meter. Die beiden Quadrate an der 4 Meter langen Wand dürfen sich nicht überlappen. Deshalb muss $2x\le4$ gelten. Ein Meter erfüllt diese Bedingung.

Zwei Zahlen aus Summe und Produkt bestimmen

Zwei Zahlen haben das Produkt $63$ und die Summe $16$. Mit einer quadratischen Gleichung lassen sich beide Zahlen bestimmen.

Die beiden Zahlen werden mit $p$ und $q$ bezeichnet. Dann gilt:

• $p + q = 16$, also $q = 16 - p$
• $p \times q = 63$

Den Wert von $q$ in die Produktgleichung einsetzen:

Die quadratische Gleichung faktorisieren:

Die gesuchten Zahlen sind $7$ und $9$.

Geschwindigkeit eines Fahrzeugs

Ein Fahrzeug legt $320 \text{ km}$ mit konstanter Geschwindigkeit zurück. Bei einer um $24 \text{ km/h}$ höheren Geschwindigkeit wäre die Fahrzeit um $3 \text{ Stunden}$ kürzer. Gesucht ist die ursprüngliche Geschwindigkeit.

Die ursprüngliche Geschwindigkeit sei $v \text{ km/h}$, die ursprüngliche Fahrzeit $t \text{ Stunden}$. Dann gilt:

• $v \times t = 320$, denn Strecke $=$ Geschwindigkeit $\times$ Zeit
• $(v + 24) \times (t - 3) = 320$ für die zweite Fahrt

Aus der ersten Gleichung folgt $t = \frac{320}{v}$.

Einsetzen in die zweite Gleichung:

Mit $v$ multiplizieren und vereinfachen:

Eine negative Geschwindigkeit ist hier ausgeschlossen. Daher beträgt die ursprüngliche Geschwindigkeit $v = 40 \text{ km/h}$. Die Fahrt dauert zunächst $8 \text{ Stunden}$. Bei $64 \text{ km/h}$ dauert sie $5 \text{ Stunden}$ und damit genau $3 \text{ Stunden}$ weniger.

Häufige Fehlvorstellungen

Zwei typische Fehler lassen sich leicht vermeiden:

1. Die Summe $x + 3$ fälschlich zu $3x$ zusammenfassen.

   Konkretes Beispiel: Ist ein Raum $x \text{ m}$ lang und wird um $3 \text{ m}$ verlängert, beträgt die neue Länge $(x + 3) \text{ m}$. Der Ausdruck $3x$ würde die ursprüngliche Länge mit drei multiplizieren.

2. Eine Gleichung allein wegen des Terms $x^2$ als quadratisch einstufen, ohne ihre Gesamtform zu prüfen.

   Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$.

Formen quadratischer Gleichungen

Unterscheide die Gleichung in ihrer Ausgangsform von der Form nach dem Beseitigen der Nenner. Auch nach der Multiplikation bleiben Werte ausgeschlossen, bei denen ein Nenner null wird.

Übungsaufgaben

Die Aufgaben mischen mehrere Formen, deshalb entscheidest du bei jeder Gleichung zuerst, ob sie zur Produktform passt, ob die Lösungsformel nötig ist oder ob ein volles Quadrat vorliegt. Schreibe die gewählte Methode vor die Rechnung.

Quadratische Gleichungen identifizieren

Entscheide, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind:

1. $x^3 + x^2 + x = 0$
2. $3x^2 + 2x - 1 = 0$
3. $\frac{1}{x} + 5x = 0$
4. $x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$

Produkte ausmultiplizieren

Multipliziere die folgenden Produkte aus:

1. $(x + 2)(x + 3) = 0$
2. $\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
3. $(2x - 8)(x + 5) = 0$

Ausführliche Lösungen

Prüfe bei der Einordnung den höchsten Exponenten und die Nenner. Zum Ausmultiplizieren multiplizierst du jeden Term des ersten Faktors mit jedem Term des zweiten. Für die Lösungen verwendest du ein Produkt gleich null.

Einordnungsaufgabe 1: $x^3 + x^2 + x = 0$

Begründung: Keine quadratische Gleichung, denn der höchste Exponent ist $3$ wegen $x^3$. Es handelt sich um eine kubische Gleichung.

Einordnungsaufgabe 2: $3x^2 + 2x - 1 = 0$

Begründung: Quadratische Gleichung, denn sie hat die Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a = 3$, $b = 2$ und $c = -1$.

Einordnungsaufgabe 3: $\frac{1}{x} + 5x = 0$

Begründung: Keine quadratische Gleichung, denn $\frac{1}{x}$ enthält die Variable im Nenner. Die Ausgangsform ist eine Bruchgleichung. Für $x\ne0$ ergibt die Multiplikation mit x die Gleichung $1+5x^2=0$.

Einordnungsaufgabe 4: $x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$

Begründung: Keine quadratische Gleichung, denn $\frac{1}{x}$ enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine rationale Gleichung.

Ausmultiplizieren, Aufgabe 1: $(x + 2)(x + 3) = 0$

Rechnung:

Ausmultipliziert ergibt sich $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Ausmultiplizieren, Aufgabe 2: $\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$

Rechnung:

Zur Vereinfachung alle Terme mit $3$ multiplizieren:

Ausmultipliziert ergibt sich $x^2 - 3x - 108 = 0$ oder äquivalent $\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0$.

Ausmultiplizieren, Aufgabe 3: $(2x - 8)(x + 5) = 0$

Rechnung:

Der erste Faktor $2x - 8$ lässt sich außerdem als $2(x - 4)$ schreiben:

Ausmultipliziert ergibt sich $2x^2 + 2x - 40 = 0$.

Nun werden die Gleichungen aus den ausmultiplizierten Produkten gelöst:

Nullstellen zu Aufgabe 1 aus dem Ausmultiplizieren: $x^2 + 5x + 6 = 0$

Rechnung: Faktorisieren:

Nach dem Satz vom Nullprodukt:

• Wenn $x + 2 = 0$, dann $x = -2$
• Wenn $x + 3 = 0$, dann $x = -3$

Die Lösungen sind $x = -2$ und $x = -3$.

Nullstellen zu Aufgabe 2 aus dem Ausmultiplizieren: $x^2 - 3x - 108 = 0$

Rechnung: Mit der Lösungsformel:

Beide Vorzeichen auswerten:

• $x = \frac{3 + 21}{2} = 12$
• $x = \frac{3 - 21}{2} = -9$

Die Lösungen sind $x = 12$ und $x = -9$.

Kontrolle durch Faktorisieren:

Nullstellen zu Aufgabe 3 aus dem Ausmultiplizieren: $2x^2 + 2x - 40 = 0$

Rechnung: Zunächst alle Terme durch $2$ teilen:

Faktorisieren:

Nach dem Satz vom Nullprodukt:

• Wenn $x + 5 = 0$, dann $x = -5$
• Wenn $x - 4 = 0$, dann $x = 4$

Die Lösungen sind $x = -5$ und $x = 4$.