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Das kartesische Koordinatensystem verwendet senkrechte Achsen, um die Position eines Punktes zu bestimmen.
In zwei Dimensionen verwenden wir die -Achse (horizontal) und die -Achse (vertikal). Die Position eines Punktes wird als geordnetes Paar ausgedrückt, zum Beispiel Punkt .
Das bedeutet, dass der Punkt vom Ursprung aus nach rechts in positive -Richtung und nach oben in positive -Richtung liegt.
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In drei Dimensionen kommt eine -Achse hinzu, die senkrecht auf der -Ebene steht. Die Position eines Punktes wird als angegeben. Damit lässt sich etwa die Lage eines Flugzeugs im dreidimensionalen Raum beschreiben.
In einem häufig verwendeten räumlichen Modell können , und Länge, Breite und Höhe darstellen. Das gewählte Modell legt die Bedeutung jeder Achse fest.
Koordinaten geben die Position eines Punktes in einem Koordinatensystem an. Ein Vektor ungleich null besitzt dagegen einen Betrag und eine Richtung. Stell dir eine Fliege vor, die vom Punkt zum Punkt fliegt. Ihre Verschiebung lässt sich durch einen Vektor darstellen.
Ein Vektor vom Ursprung zu einem Punkt . Den Ortsvektor von schreibt man als .
Beispiel: .
Ein Vektor, der zwei beliebige Punkte verbindet, zum Beispiel den Punkt mit dem Punkt . Diesen Vektor schreibt man als . Er muss nicht am Ursprung beginnen.
Beispiele sind die Verschiebungsvektoren von nach und von nach .
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Berechne die Verschiebung als Endkoordinaten minus Anfangskoordinaten. Für die beiden Pfeile im Diagramm gilt:
Der erste Pfeil führt Einheiten nach links und nach unten. Der zweite führt Einheiten nach rechts und nach oben. Die Vorzeichen der Komponenten beschreiben die Richtung entlang jeder Achse.
Die waagerechte oder senkrechte Anordnung unterscheidet Zeilen- und Spaltenvektoren. Die Form der Klammern bestimmt diesen Unterschied nicht. Außerdem lassen sich Komponenten als Vielfache von Einheitsvektoren schreiben.
Zeilenvektor: Die Komponenten stehen in einer Zeile nebeneinander.
Beispiel: .
Spaltenvektor: Die Komponenten stehen in einer Spalte untereinander.
Zum Beispiel:
Schreibweise mit Einheitsvektoren in drei Dimensionen: Dazu verwenden wir die Einheitsvektoren , und in Richtung der -, - und -Achse.
Beispiel: Der Vektor kann als geschrieben werden. Der Vektor hat also die Komponente in -Richtung, in -Richtung und in -Richtung.
Stell dir eine Karten-App auf deinem Smartphone vor. Sie verwendet ein Koordinatensystem, um:
Koordinaten liefern die Orte. Kartendaten und Routenalgorithmen bestimmen daraus einen passenden Weg. Vektoren helfen anschließend, Änderungen von Position und Richtung zu beschreiben. Derselbe Unterschied gilt für ein Flugzeug: Koordinaten beschreiben seinen Ort, ein Verschiebungsvektor beschreibt die Änderung seiner Position.
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