Vektorsubtraktion

Einen Vektor durch Addition seines Gegenvektors abziehen

Die Vektorsubtraktion liefert die $Differenz zweier Vektoren$ . Wenn wir $\vec{b}$ von $\vec{a}$ abziehen, erhalten wir den Vektor, den man zu $\vec{b}$ addieren muss, um $\vec{a}$ zu erhalten.

Mathematisch ist die Subtraktion so definiert:

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Mit anderen Worten: $\vec{b}$ von $\vec{a}$ abzuziehen ist dasselbe, wie $\vec{a}$ mit dem Gegenvektor von $\vec{b}$ zu addieren.

Geometrische Vektorsubtraktion

Die folgenden vier Schritte zeigen zwei gleichwertige Konstruktionen für $\vec{a} - \vec{b}$ :

Zeichne $\vec{a}$ und $\vec{b}$ mit demselben Anfangspunkt.
Zeichne den Pfeil vom Endpunkt von $\vec{b}$ zum Endpunkt von $\vec{a}$ . Dieser Pfeil ist $\vec{a} - \vec{b}$ .
Kehre für die zweite Konstruktion $\vec{b}$ zum Gegenvektor $-\vec{b}$ um. Verschiebe ihn dann so, dass sein Anfangspunkt am Endpunkt von $\vec{a}$ liegt.
Zeichne den Pfeil vom gemeinsamen Ursprung zum letzten Endpunkt. Er ist $\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}$ .

Die Darstellung zeigt beide Konstruktionen. Die beiden Pfeile mit der Beschriftung $a-b$ haben dieselben Komponenten, denselben Betrag und dieselbe Richtung, obwohl ihre $Anfangspunkte verschieden$ sind.

Vektorsubtraktion im dreidimensionalen Raum

Konstruktion mit gemeinsamem Anfangspunkt und Spitze an Schaft für

a-b=a+(-b)

Algebraische Vektorsubtraktion

Algebraisch ziehen wir die $jeweils entsprechenden Komponenten$ voneinander ab. Gegeben seien die beiden Vektoren:

\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)

Dann berechnen wir $\vec{a} - \vec{b}$ komponentenweise:

\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)

Für zweidimensionale Vektoren lautet die Gleichung:

\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)

Rechenbeispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren:

\vec{a} = (3, 4)

Für $\vec{a} - \vec{b}$ erhalten wir:

\begin{aligned} \vec{a} - \vec{b} &= (3, 4) - (1, 2) \\ &= (3-1, 4-2) \\ &= (2, 2) \end{aligned}

In umgekehrter Reihenfolge gilt für $\vec{b} - \vec{a}$ :

\begin{aligned} \vec{b} - \vec{a} &= (1, 2) - (3, 4) \\ &= (1-3, 2-4) \\ &= (-2, -2) \end{aligned}

Im Allgemeinen ist $\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}$ . Ist die Differenz ungleich null, kehrt sich beim $Vertauschen der Reihenfolge$ die Richtung um: $\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$ .

Beispiel für Vektorsubtraktion

Visualisierung der Vektorsubtraktion

a - b = (3,4,0) - (1,2,0) = (2,2,0)

Anwendungen der Vektorsubtraktion

Vektorsubtraktion wird immer dann gebraucht, wenn wir zwei vektorielle Größen vergleichen:

$Verschiebung berechnen$ : Ist $\vec{a}$ der Ortsvektor der Endposition und $\vec{b}$ der Ortsvektor der Anfangsposition, dann ist $\vec{a} - \vec{b}$ der Verschiebungsvektor.
$Entfernung berechnen$ : In einem Spiel liefert Zielposition minus Vogelposition die Richtung zum Ziel. Der Betrag dieses Differenzvektors ist die Luftlinienentfernung.
$Geschwindigkeiten vergleichen$ : In der Physik ist die Geschwindigkeit des Objekts $A$ relativ zum Objekt $B$ gleich $\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$ . Vertauschen wir die Reihenfolge, kehrt sich der Relativgeschwindigkeitsvektor um.

Verschiebung durch Vektorsubtraktion

Die Verschiebung zwischen zwei Positionen erhalten wir, indem wir den Ortsvektor der Anfangsposition $vom Ortsvektor der Endposition abziehen$ .

Angenommen, ein Objekt bewegt sich von der Anfangsposition $\vec{p}_1$ zur Endposition $\vec{p}_2$ . Der Verschiebungsvektor des Objekts ist:

\vec{d} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1

Dieser Vektor zeigt von der Anfangsposition zur Endposition. Sein Betrag ist die Luftlinienentfernung zwischen beiden Positionen. Der tatsächlich zurückgelegte Weg kann länger sein.

Eigenschaften der Vektorsubtraktion

Die Regel $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ ersetzt eine Subtraktion durch eine Addition, sodass du alle Regeln für das Addieren von Vektoren weiterverwenden kannst. Ziehst du einen Vektor von sich selbst ab, bleibt immer der Nullvektor übrig. Beim Vertauschen der beiden Vektoren kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um, also achte auf die $Reihenfolge$ .

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$ (Nullvektor)
$\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$
$\vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$
$\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$

Eine Verschiebung durch Vektorsubtraktion bestimmen

Ein Affe befindet sich an der Position $(3, 4)$ . Eine Banane liegt an der Position $(2, 1)$ . Bestimme den Verschiebungsvektor, mit dem der Affe die Banane erreicht.

$Lösung$ :

Position des Affen: $\vec{m} = (3, 4)$

Position der Banane: $\vec{p} = (2, 1)$

Der Verschiebungsvektor vom Affen zur Banane ist:

\begin{aligned} \vec{d} &= \vec{p} - \vec{m} \\ &= (2, 1) - (3, 4) \\ &= (2-3, 1-4) \\ &= (-1, -3) \end{aligned}

Der Affe muss sich also $1 \text{ Einheit}$ in negative $x$ -Richtung und $3 \text{ Einheiten}$ in negative $y$ -Richtung bewegen.

Der Betrag des Verschiebungsvektors kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

\begin{aligned} |\vec{d}| &= \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10} \\ &\approx 3{,}16 \end{aligned}