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Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt die möglichen Werte einer Zufallsgröße und ordnet jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zu. Bei einem Würfel kann die Zufallsgröße die gewürfelte Zahl sein. Bei zwei Würfeln kann sie stattdessen deren Summe sein. Die Verteilung zeigt, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich jeder Wert ist.
Die Ergebnismenge enthält alle Elementarereignisse, die in einem Zufallsversuch auftreten können. Sie wird mit dem Symbol (Omega) bezeichnet.
Bei einem Wurf mit einem gewöhnlichen -seitigen Würfel sind und möglich. Zusammen bilden diese Ergebnisse die Ergebnismenge:
Hier gibt es insgesamt mögliche Ergebnisse.
Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Es enthält genau die Ergebnisse, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.
Beispiel:
Für den Würfelversuch () betrachten wir das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“. Die geraden Ergebnisse sind und . Ereignis lautet also:
Das Ereignis enthält Ergebnisse.
Die Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt.
Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, wird die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller Ergebnisse geteilt:
Mit den Symbolen aus unserem Beispiel:
Dabei gilt:
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „gerade Zahl“ (Ereignis ):
Das Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit , also .
Eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt zwei Regeln:
Die Wahrscheinlichkeit jedes Wertes () liegt zwischen und .
Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte ergeben zusammen genau .
Bei einem fairen Würfel hat jede Seite dieselbe Wahrscheinlichkeit. Die Verteilung lautet:
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
Warum sind sie alle ?
Der Würfel hat gleich wahrscheinliche Seiten, daher besitzt jede Seite die Wahrscheinlichkeit . Ihre Summe ist und erfüllt damit die zweite Regel.
Nun werfen wir einen roten und einen weißen Würfel. Wird das Ergebnis als geordnetes Paar notiert, gibt es mögliche Ergebnisse.
Warum ?
Der rote Würfel hat Möglichkeiten und der weiße ebenfalls . Daraus entstehen geordnete Paare.
Die resultierenden Paare können wie folgt geschrieben werden:
Da die Würfel fair und unabhängig sind, hat jedes geordnete Paar die Wahrscheinlichkeit .
und unterscheiden
Da die Würfel verschiedene Farben haben, unterscheidet sich eine rote mit einer weißen von einer roten mit einer weißen . Die Reihenfolge hält fest, welcher Würfel welche Zahl zeigt.
Ist die Zufallsgröße die Summe beider Würfel, beträgt ihr kleinster Wert und ihr größter Wert . Die Summen entstehen aus unterschiedlich vielen geordneten Paaren und haben daher verschiedene Wahrscheinlichkeiten:
| Summe der Zahlen | Mögliche Paare | Anzahl der Paare | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|
Die Summe ist am wahrscheinlichsten, weil geordnete Paare zu ihr führen. Die Summen und entstehen dagegen jeweils nur aus einem Paar. Dieser Unterschied ist entscheidend, wenn ein Spiel oder Modell von der Summe und nicht von den einzelnen Würfelwerten abhängt.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen machen unsichere Ergebnisse vergleichbar und nutzbar:
In jedem Fall liefert die Verteilung ein Zahlenmodell für Unsicherheit.
Drei faire Münzen werden geworfen. Die Zufallsgröße gibt die Anzahl der geworfenen Köpfe an. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von auf, prüfe ihre Gültigkeit und bestimme .
Wir codieren Kopf mit und Zahl mit . Die drei Würfe erzeugen dann gleich wahrscheinliche geordnete Tripel:
Wir zählen die Ergebnisse mit oder Köpfen:
| Anzahl der Köpfe | Ergebnisse | Anzahl | |
|---|---|---|---|
Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen und und ihre Summe ist
Die Verteilung ist somit gültig. Mindestens zwei Köpfe bedeuten oder . Daher gilt:
Da die Ergebnismenge zuerst vollständig aufgeschrieben wurde, lässt sich die Verteilung prüfen: Jedes der Ergebnisse erscheint in genau einer Zeile.
