Wahrscheinlichkeitsverteilung

Möglichen Werten Wahrscheinlichkeiten zuordnen

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt die möglichen Werte einer Zufallsgröße und $ordnet jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zu$ . Bei einem Würfel kann die Zufallsgröße die gewürfelte Zahl sein. Bei zwei Würfeln kann sie deren Summe sein. Die Verteilung zeigt, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich jeder Wert ist.

Die Ergebnismenge aller möglichen Ergebnisse

Die Ergebnismenge enthält $alle Elementarereignisse$ , die in einem Zufallsversuch auftreten können. Sie wird mit dem Symbol $\Omega$ (Omega) bezeichnet.

Bei einem Wurf mit einem gewöhnlichen $6$ -seitigen Würfel sind $1, 2, 3, 4, 5,$ und $6$ möglich. Zusammen bilden diese Ergebnisse die Ergebnismenge:

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Hier gibt es insgesamt $6$ mögliche Ergebnisse.

Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

Ein Ereignis ist eine $Menge von Ergebnissen, die eine Bedingung erfüllen$ . Seine Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse. Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, kannst du die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse teilen.

Ereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Es enthält genau die Ergebnisse, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

$Beispiel$ :

Für den Würfelversuch ( $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ) betrachten wir das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“. Die geraden Ergebnisse sind $2, 4,$ und $6$ . Ereignis $A$ lautet also:

A = \{2, 4, 6\}

Das Ereignis $A$ enthält $3$ Ergebnisse.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Die Wahrscheinlichkeit misst, $wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt$ .

Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, wird die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller Ergebnisse geteilt:

P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}

Mit den Symbolen aus unserem Beispiel:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Dabei gilt:

$|A|$ ist die Anzahl der Ergebnisse in Ereignis $A$ , hier also $3$ .
$|\Omega|$ ist die Anzahl aller Ergebnisse in der Ergebnismenge, hier also $6$ .

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „gerade Zahl“ (Ereignis $A$ ):

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Das Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit $1/2$ , also $50\%$ .

Regeln für Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt $zwei Regeln$ :

Die Wahrscheinlichkeit jedes Wertes ( $P(x)$ ) liegt zwischen $0$ und $1$ .

$0 \leq P(x) \leq 1$
Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte ergeben zusammen genau $1$ .

$\sum_{x \in \Omega} P(x) = 1$

Einen Würfel werfen

Bei einem fairen Würfel hat jede Seite $dieselbe Wahrscheinlichkeit$ . Die Verteilung lautet:

Ergebnis $x$	Wahrscheinlichkeit $P(x)$
$1$	$1/6$
$2$	$1/6$
$3$	$1/6$
$4$	$1/6$
$5$	$1/6$
$6$	$1/6$

Warum sind sie alle $1/6$ ?

Der Würfel hat $6$ gleich wahrscheinliche Seiten, daher besitzt jede Seite die Wahrscheinlichkeit $1/6$ . Ihre Summe ist $1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1$ und erfüllt damit die zweite Regel.

Zwei Würfel werfen

Nun werfen wir $einen roten und einen weißen Würfel$ . Wird das Ergebnis als geordnetes Paar notiert, gibt es $36$ mögliche Ergebnisse.

Warum $36$ ?

Der rote Würfel hat $6$ Möglichkeiten und der weiße ebenfalls $6$ . Daraus entstehen $6 \times 6 = 36$ geordnete Paare.

Die resultierenden Paare können wie folgt geschrieben werden:

Roter Würfel $1$ , weißer Würfel $1$ ergibt $(1, 1)$ .
Roter Würfel $1$ , weißer Würfel $2$ ergibt $(1, 2)$ .
... und so weiter bis ...
Roter Würfel $6$ , weißer Würfel $6$ ergibt $(6, 6)$ .

Da die Würfel fair und unabhängig sind, hat jedes geordnete Paar die Wahrscheinlichkeit $1/36$ .

$(1, 2)$

Da die Würfel verschiedene Farben haben, unterscheidet sich eine rote $3$ mit einer weißen $2$ von einer roten $2$ mit einer weißen $3$ . Die Reihenfolge hält fest, welcher Würfel welche Zahl zeigt.

Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Summe zweier Würfel

Ist die Zufallsgröße die Summe beider Würfel, beträgt ihr kleinster Wert $1+1=2$ und ihr größter Wert $6+6=12$ . Die Summen entstehen aus $unterschiedlich vielen geordneten Paaren$ und haben daher verschiedene Wahrscheinlichkeiten:

Summe der Zahlen $j$	Mögliche Paare	Anzahl der Paare	Wahrscheinlichkeit $P(j)$
$2$	$(1,1)$	$1$	$1/36$
$3$	$(1,2)$ , $(2,1)$	$2$	$2/36$
$4$	$(1,3)$ , $(2,2)$ , $(3,1)$	$3$	$3/36$
$5$	$(1,4)$ , $(2,3)$ , $(3,2)$ , $(4,1)$	$4$	$4/36$
$6$	$(1,5)$ , $(2,4)$ , $(3,3)$ , $(4,2)$ , $(5,1)$	$5$	$5/36$
$7$	$(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$	$6$	$6/36$
$8$	$(2,6)$ , $(3,5)$ , $(4,4)$ , $(5,3)$ , $(6,2)$	$5$	$5/36$
$9$	$(3,6)$ , $(4,5)$ , $(5,4)$ , $(6,3)$	$4$	$4/36$
$10$	$(4,6)$ , $(5,5)$ , $(6,4)$	$3$	$3/36$
$11$	$(5,6)$ , $(6,5)$	$2$	$2/36$
$12$	$(6,6)$	$1$	$1/36$

Die Summe $7$ ist am wahrscheinlichsten, weil $6$ geordnete Paare zu ihr führen. Die Summen $2$ und $12$ entstehen dagegen jeweils nur aus einem Paar. Dieser Unterschied ist entscheidend, wenn ein Spiel oder Modell die Summe beider Würfel verwendet.

Ergebnisanzahl für jede Würfelsumme

Der mittlere Balken ist am höchsten, weil mehr geordnete Paare diese Summe ergeben.

Ergebnisse und Risiken vergleichen

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zu. Diese Zahlen erlauben mehrere konkrete Vergleiche:

$Ergebnisse vergleichen$ : Man erkennt unmittelbar, dass die Summe $7$ wahrscheinlicher ist als die Summe $12$ .
$Spiele analysieren$ : Bei Würfelspielen zeigt die Verteilung, welche Züge oder Summen häufiger auftreten, auch wenn ein einzelner Wurf ungewiss bleibt.
$Vorhersagen treffen$ : Eine Verteilung kann Unsicherheit zusammenfassen, etwa die Regenwahrscheinlichkeit in einem Wettermodell.
$Entscheidungen unterstützen$ : Wissenschaft und Wirtschaft vergleichen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Risiken und erwartete Ergebnisse anhand von Daten.

Jede Verwendung beruht auf derselben Struktur: einer festgelegten Ergebnismenge und einer Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis.

Übung

Drei faire Münzen werden geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt die $Anzahl der geworfenen Köpfe$ an. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ auf, prüfe ihre Gültigkeit und bestimme $P(X \geq 2)$ .

Ausführliche Lösung

Wir codieren Kopf mit $1$ und Zahl mit $0$ . Die drei Würfe erzeugen dann $2^3=8$ $gleich wahrscheinliche geordnete Tripel$ :

\Omega=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)\}

Wir zählen die Ergebnisse mit $0,1,2$ oder $3$ Köpfen:

Anzahl der Köpfe $x$	Ergebnisse	Anzahl	$P(X=x)$
$0$	$(0,0,0)$	$1$	$1/8$
$1$	$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$	$3$	$3/8$
$2$	$(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$	$3$	$3/8$
$3$	$(1,1,1)$	$1$	$1/8$

Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$ und ihre Summe ist

\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1

Die Verteilung ist somit gültig. Mindestens zwei Köpfe bedeuten $X=2$ oder $X=3$ . Daher gilt:

P(X \geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}

Da die Ergebnismenge zuerst vollständig aufgeschrieben wurde, lässt sich die Verteilung prüfen: Jedes der $8$ Ergebnisse erscheint in genau einer Zeile.