Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B

Zwei Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten

Angenommen, ein Versuch kann eines von zwei Ereignissen hervorbringen, aber nicht beide. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung heißen solche Ereignisse $gegenseitig ausschließend$ oder disjunkt.

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind $gegenseitig ausschließend$ , wenn sie $nicht gemeinsam$ in einem Versuch auftreten können. Tritt $A$ ein, tritt $B$ nicht ein, und umgekehrt.

Merkmale sich gegenseitig ausschließender Ereignisse

Ihr wesentliches Merkmal ist eine $leere Schnittmenge$ : Kein Ergebnis gehört gleichzeitig zu Ereignis $A$ und Ereignis $B$ . Diese Eigenschaft erlaubt es, beide Wahrscheinlichkeiten direkt zu addieren, weil kein Ergebnis doppelt gezählt wird.

Wahrscheinlichkeit dass zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten

Da die Ereignisse $A$ und $B$ nicht gemeinsam auftreten können, ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge $null$ .

Wir können die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ $A$ $und$ $B$ “ (beide treten ein) wie folgt schreiben:

P(A \text{ und } B) = 0

Oder mit dem Schnittmengensymbol:

P(A \cap B) = 0

Bei gegenseitig ausschließenden Ereignissen ist die Schnittmenge leer, also hat sie die Wahrscheinlichkeit null.

Berechnung der kombinierten Wahrscheinlichkeit für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ $ODER$ Ereignis $B$ eintritt, nutzen wir die fehlende Überschneidung.

Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten können $addiert$ werden, ohne ein Ergebnis doppelt zu zählen.

Die Formel lautet:

P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)

Oder mit dem Vereinigungszeichen:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Dies ist die $spezielle Additionsregel$ $für Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen$ . Bei Ereignissen mit gemeinsamen Ergebnissen muss deren Schnittmenge zusätzlich berücksichtigt werden.

Beispiele für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Bei einer fairen Münze, einem fairen Würfel und einem zufälligen Zug aus einem Standardkartenspiel sind alle Elementarereignisse $gleich wahrscheinlich$ . Die Tabelle zählt die Ergebnisse jedes Ereignisses. Jedes Ereignispaar hat eine leere Schnittmenge.

Versuch	Zwei Ereignisse	Wahrscheinlichkeit der Vereinigung
Faire Münze	Kopf oder Zahl	$\frac12+\frac12=1$
Fairer Würfel	Drei oder fünf	$\frac16+\frac16=\frac13$
Fairer Würfel	Gerade oder ungerade	$\frac36+\frac36=1$
Standardkartenspiel	König oder Dame	$\frac4{52}+\frac4{52}=\frac2{13}$
Standardkartenspiel	Rot oder Kreuz	$\frac{26}{52}+\frac{13}{52}=\frac34$

Beim Würfel sind $\{2,4,6\}$ die geraden und $\{1,3,5\}$ die ungeraden Ergebnisse. Zusammen umfassen sie alle Seiten. Alle Kreuzkarten sind schwarz und gehören deshalb nicht zum Ereignis „rote Karte“. Ein Standardkartenspiel enthält $52$ Karten, darunter $4$ Könige, $4$ Damen, $26$ rote Karten und $13$ Kreuzkarten.

Übung

Ein $fairer sechsseitiger Würfel$ wird einmal geworfen. Es seien $A=\{1,2\}$ und $B=\{5,6\}$ .

Zeige, dass $A$ und $B$ sich gegenseitig ausschließen.
Bestimme $P(A \cup B)$ .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt.

Ausführliche Lösung

$Aufgabe 1$ . Die beiden Ereignisse haben eine $leere Schnittmenge$ und damit kein gemeinsames Ergebnis:

A \cap B=\varnothing

Sie schließen sich daher $gegenseitig aus$ .

$Aufgabe 2$ . Jedes Ereignis enthält $2$ der $6$ gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse. Mit der speziellen Additionsregel folgt

\begin{aligned}P(A \cup B)&=P(A)+P(B) \\ &=\frac{2}{6}+\frac{2}{6} \\ &=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}

$Aufgabe 3$ . Außerhalb von $A \cup B=\{1,2,5,6\}$ liegen die Ergebnisse $\{3,4\}$ . Somit gilt:

P(\text{weder }A\text{ noch }B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Zur Kontrolle ergeben die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und die Wahrscheinlichkeit ihres Komplements zusammen $2/3+1/3=1$ .