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Die Ereignisse und sind gegenseitig ausschließend, wenn sie nicht gemeinsam in einem Versuch auftreten können. Tritt ein, tritt nicht ein, und umgekehrt.
Ihr wesentliches Merkmal ist eine leere Schnittmenge: Kein Ergebnis gehört gleichzeitig zu Ereignis und Ereignis . Diese Eigenschaft erlaubt es, beide Wahrscheinlichkeiten direkt zu addieren, weil kein Ergebnis doppelt gezählt wird.
Da die Ereignisse und nicht gemeinsam auftreten können, ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge null.
Wir können die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ und “ (beide treten ein) wie folgt schreiben:
Oder mit dem Schnittmengensymbol:
Bei gegenseitig ausschließenden Ereignissen ist die Schnittmenge leer, also hat sie die Wahrscheinlichkeit null.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis ODER Ereignis eintritt, nutzen wir die fehlende Überschneidung.
Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten können addiert werden, ohne ein Ergebnis doppelt zu zählen.
Die Formel lautet:
Oder mit dem Vereinigungszeichen:
Dies ist die spezielle Additionsregel für Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen. Bei Ereignissen mit gemeinsamen Ergebnissen muss deren Schnittmenge zusätzlich berücksichtigt werden.
Bei einer fairen Münze, einem fairen Würfel und einem zufälligen Zug aus einem Standardkartenspiel sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich. Die Tabelle zählt die Ergebnisse jedes Ereignisses. Jedes Ereignispaar hat eine leere Schnittmenge.
| Versuch | Zwei Ereignisse | Wahrscheinlichkeit der Vereinigung |
|---|---|---|
| Faire Münze | Kopf oder Zahl | |
| Fairer Würfel | Drei oder fünf | |
| Fairer Würfel | Gerade oder ungerade | |
| Standardkartenspiel | König oder Dame | |
| Standardkartenspiel | Rot oder Kreuz |
Beim Würfel sind die geraden und die ungeraden Ergebnisse. Zusammen umfassen sie alle Seiten. Alle Kreuzkarten sind schwarz und gehören deshalb nicht zum Ereignis „rote Karte“. Ein Standardkartenspiel enthält Karten, darunter Könige, Damen, rote Karten und Kreuzkarten.
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es seien und .
Aufgabe 1. Die beiden Ereignisse haben eine leere Schnittmenge und damit kein gemeinsames Ergebnis:
Sie schließen sich daher gegenseitig aus.
Aufgabe 2. Jedes Ereignis enthält der gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse. Mit der speziellen Additionsregel folgt
Aufgabe 3. Außerhalb von liegen die Ergebnisse . Somit gilt:
Zur Kontrolle ergeben die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und die Wahrscheinlichkeit ihres Komplements zusammen .
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