Pfeile als Sprache der Vektoren
Ein Vektor wird gewöhnlich als Pfeil gezeichnet. Diese Form ist nicht bloß dekorativ: Der Fußpunkt zeigt den Anfang, die Spitze zeigt die Richtung, und die Pfeillänge stellt den Betrag des Vektors dar.
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Ein Vektor wird gewöhnlich als Pfeil gezeichnet. Diese Form ist nicht bloß dekorativ: Der Fußpunkt zeigt den Anfang, die Spitze zeigt die Richtung, und die Pfeillänge stellt den Betrag des Vektors dar.
Ist ein Kraftpfeil bei gleichem Maßstab länger, besitzt die Kraft einen größeren Betrag. Zeigt der Pfeil nach rechts oben, wirkt die Kraft ebenfalls nach rechts oben.
Eine Vektornotation muss zwei Informationen bewahren: Betrag und Richtung.
Ein Vektor kann durch seinen Anfangs- und Endpunkt bezeichnet werden. So steht für den Vektor vom Punkt zum Punkt .
Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig. und verwenden dieselben zwei Punkte, ihre Richtungen sind jedoch entgegengesetzt.
| Notation | Lesart | Bedeutung der Richtung |
|---|---|---|
| Vektor von nach | Fußpunkt bei , Spitze bei | |
| Vektor von nach | ||
| Betrag von |
Der Pfeil über den Buchstaben kennzeichnet die Größe als Vektor. Die Betragsstriche zeigen dagegen an, dass nur der Betrag gemeint ist.
In Rechnungen werden Vektoren häufig mit einem einzelnen Buchstaben bezeichnet, etwa , oder . Der Buchstabe verweist auf die jeweilige physikalische Größe.
So steht häufig für eine Kraft, für eine Geschwindigkeit und für eine Verschiebung. Der Betrag wird ohne Vektorpfeil geschrieben, zum Beispiel als oder .
Die erste Zeile enthält Betrag und Richtung. Die zweite Zeile nennt nur den Betrag der Kraft.
Bei Rechnungen mit Vektorkomponenten treten zwei besondere Arten von Vektoren häufig auf.
Ein Nullvektor hat den Betrag . Sein Fußpunkt und seine Spitze fallen zusammen, sodass seine Richtung nicht definiert ist. In der Physik entsteht ein Nullvektor zum Beispiel, wenn sich zwei gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte aufheben.
Ein Einheitsvektor hat den Betrag und kennzeichnet eine Richtung. Er sagt weder aus, wie groß eine Kraft ist, noch wie weit eine Verschiebung reicht. In der dreidimensionalen kartesischen Standardbasis besitzt jeder Einheitsvektor genau eine Komponente mit dem Wert :
Wird ein Vektor als geschrieben, geben und die positiven Achsenrichtungen an. Die vorzeichenbehafteten Skalare und geben die Komponenten entlang dieser Achsen an.
Der erste Fehler besteht darin, als denselben Vektor wie zu behandeln, weil sie dieselben zwei Punkte verwenden. Ihre Richtungen sind entgegengesetzt.
Der zweite Fehler ist ein negativer Vektorbetrag. Ein Betrag ist immer oder positiv. Ein Minuszeichen vor einem Vektor bedeutet gewöhnlich, dass der Vektor entgegen einer gewählten Bezugsrichtung zeigt, nicht dass seine Länge negativ ist.
So hat keinen negativen Betrag. Der Vektor besitzt denselben Betrag wie , zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.
| Fußpunkt bei , Spitze bei |
| nur die Länge, nicht die Richtung |