Soal 19/20: Set 2 - Try Out - Penalaran Matematika (SNBT)

:00

Sebuah pesawat mula-mula berada pada ketinggian $3000$ meter, dan hendak mendarat di sebuah landasan. Namun karena cuaca buruk, petugas ATC (Air Traffic Control) meminta pilot untuk melakukan Holding Area, atau berputar di udara sambil menunggu cuaca membaik. Posisi pesawat saat yang awalnya membentuk sudut $30^\circ$ terhadap menara ATC, dalam waktu $30$ detik berubah menuju $45^\circ$ . Maka perkiraan kecepatan pesawat tersebut adalah...

$150\sqrt{3} \text{ m/s}$

$300\sqrt{3} \text{ m/s}$

$100(\sqrt{3}-1) \text{ m/s}$

$450\sqrt{3} \text{ m/s}$

$250\sqrt{3} \text{ m/s}$

Pembahasan

Analisis Geometri Pergerakan Pesawat

Soal ini dapat dimodelkan menggunakan konsep trigonometri dasar pada segitiga siku-siku. Kita memiliki dua posisi pesawat yang berbeda terhadap menara ATC yang diam.

Ilustrasi Pergerakan Pesawat

Visualisasi posisi pesawat relatif terhadap menara ATC.

Diketahui:

Ketinggian pesawat (sisi depan sudut) tetap konstan: $h = 3000\text{ m}$ .
Sudut elevasi awal: $\theta_1 = 30^\circ$ .
Sudut elevasi akhir: $\theta_2 = 45^\circ$ .
Selang waktu: $t = 30\text{ s}$ .

Pesawat bergerak mendekati menara karena sudut elevasi bertambah dari $30^\circ$ menjadi $45^\circ$ . Kita perlu mencari jarak horizontal pesawat dari menara pada kedua posisi tersebut.

Menghitung Jarak Horizontal

Hubungan antara ketinggian, jarak horizontal ( $x$ ), dan sudut elevasi ( $\theta$ ) diberikan oleh:

\tan(\theta) = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\tan(\theta)}

Jarak Awal ( $x_1$ ) saat $\theta_1 = 30^\circ$ :

$x_1 = \frac{3000}{\tan(30^\circ)} = \frac{3000}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3000\sqrt{3}\text{ m}$
Jarak Akhir ( $x_2$ ) saat $\theta_2 = 45^\circ$ :

$x_2 = \frac{3000}{\tan(45^\circ)} = \frac{3000}{1} = 3000\text{ m}$

Menghitung Kecepatan Pesawat

Jarak yang ditempuh pesawat ( $\Delta x$ ) adalah selisih antara jarak awal dan jarak akhir:

\Delta x = x_1 - x_2 = 3000\sqrt{3} - 3000 = 3000(\sqrt{3} - 1)\text{ m}

Kecepatan ( $v$ ) didefinisikan sebagai jarak tempuh dibagi waktu:

v = \frac{\Delta x}{t}

v = \frac{3000(\sqrt{3} - 1)}{30}

v = 100(\sqrt{3} - 1)\text{ m/s}

Jadi, perkiraan kecepatan pesawat tersebut adalah $100(\sqrt{3} - 1)\text{ m/s}$ .

Command Palette

Nomor 19

Pembahasan