Soal 14

Pembahasan

Diketahui rumus rekursif $a_{n+1} = 4a_n + 1$ dan $a_4 = 85$.

Kita ingin mencari pola keterbagian $a_n$ dengan $5$. Mari kita hitung beberapa suku pertama modulo $5$.

Pertama, kita cari $a_3, a_2,$ dan $a_1$ terlebih dahulu:

Lanjutkan mundur ke $a_2$:

Lanjutkan mundur ke $a_1$:

Pola sisa pembagian $a_n$ dengan $5$ adalah:

• $a_1 \equiv 1$
• $a_2 \equiv 0$ (habis dibagi 5)
• $a_3 \equiv 1$
• $a_4 \equiv 0$ (habis dibagi 5)

Terlihat bahwa $a_n$ habis dibagi $5$ jika dan hanya jika $n$ adalah bilangan genap.

Mari kita cek pilihan jawaban yang tersedia:

• $1$ (Ganjil)
• $29$ (Ganjil)
• $73$ (Ganjil)
• $364$ (Genap)
• $473$ (Ganjil)

Satu-satunya bilangan genap di antara pilihan adalah $364$.

Jadi, nilai $n$ agar $a_n$ habis dibagi $5$ adalah $364$.