Soal 15

Pembahasan

Kita diminta mencari angka yang habis membagi selisih dua suku berurutan, yaitu $a_{2025} - a_{2024}$.

Agar lebih mudah, mari kita cari pola selisih antar suku berurutan terlebih dahulu dengan mencari nilai suku-suku awal.

Diketahui $a_4 = 85$ dan rumus $a_{n+1} = 4a_n + 1$. Kita bisa mencari suku sebelumnya dengan membalik rumus:

Mencari nilai suku-suku awal

• Mencari $a_3$:

  $$a_3 = \frac{a_4 - 1}{4} = \frac{85 - 1}{4} = \frac{84}{4} = 21$$

• Mencari $a_2$:

  $$a_2 = \frac{a_3 - 1}{4} = \frac{21 - 1}{4} = \frac{20}{4} = 5$$

• Mencari $a_1$:

  $$a_1 = \frac{a_2 - 1}{4} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Mengamati pola selisih antar suku

Mari kita hitung selisih antara suku yang berdekatan:

• $a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4 = 4^1$
• $a_3 - a_2 = 21 - 5 = 16 = 4^2$
• $a_4 - a_3 = 85 - 21 = 64 = 4^3$

Dari pola di atas, kita bisa melihat bahwa selisih suku ke-$(n+1)$ dan ke-$n$ adalah pangkat dari 4:

Menentukan pembagi

Berdasarkan pola yang kita temukan, selisih $a_{2025} - a_{2024}$ adalah:

Nilai $4^{2024}$ adalah bilangan perpangkatan dari 4. Oleh karena itu, bilangan ini pasti habis dibagi oleh 4.

Jadi, angka yang habis membagi $a_{2025} - a_{2024}$ adalah $4$.