Soal 18

Fungsi $f$ didefinisikan sebagai $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x + n}}$ dengan $f(-2) = \frac{1}{2}$ .

Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

$n$ merupakan bilangan ganjil.
$0$ merupakan anggota daerah hasil fungsi $f(x)$ .
Fungsi $f$ bernilai $\frac{1}{4}$ ketika $x = -4$ .
Daerah asal fungsi $f$ adalah $x < -1 \cup x > 2$ .

Pembahasan

Langkah pertama adalah mencari nilai $n$ menggunakan informasi $f(-2) = \frac{1}{2}$ .

Mencari nilai n

Substitusi $x = -2$ ke dalam persamaan fungsi:

f(-2) = \frac{1}{\sqrt{(-2)^2 - (-2) + n}}

\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{4 + 2 + n}}

\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{6 + n}}

Kuadratkan kedua ruas:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6 + n}}\right)^2

\frac{1}{4} = \frac{1}{6 + n}

4 = 6 + n

n = -2

Jadi, fungsi $f(x)$ adalah:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x - 2}}

Sekarang mari kita periksa kebenaran setiap pernyataan.

Pernyataan 1

$n$ merupakan bilangan ganjil. Karena $n = -2$ (genap), maka pernyataan 1 Salah.

$0$ merupakan anggota daerah hasil fungsi $f(x)$ . Fungsi $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\dots}}$ berbentuk pecahan dengan pembilang 1. Nilai pecahan ini tidak akan pernah mencapai nol karena pembilangnya tidak nol. Jadi, $0$ bukan anggota daerah hasil. Pernyataan 2 Salah.

Pernyataan 3

Fungsi $f$ bernilai $\frac{1}{4}$ ketika $x = -4$ . Hitung $f(-4)$ :

f(-4) = \frac{1}{\sqrt{(-4)^2 - (-4) - 2}}

= \frac{1}{\sqrt{16 + 4 - 2}}

= \frac{1}{\sqrt{18}}

= \frac{1}{3\sqrt{2}}

Karena $\frac{1}{3\sqrt{2}} \neq \frac{1}{4}$ , maka pernyataan 3 Salah.

Pernyataan 4

Daerah asal fungsi $f$ adalah $x < -1 \cup x > 2$ . Syarat agar fungsi terdefinisi adalah penyebut tidak nol dan nilai dalam akar harus positif. Karena akar berada di penyebut, maka syaratnya adalah:

x^2 - x - 2 > 0

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:

(x - 2)(x + 1) > 0

Pembuat nol adalah $x = 2$ dan $x = -1$ . Dengan menguji garis bilangan, kita dapatkan daerah positif berada pada interval $x < -1$ atau $x > 2$ .

Jadi, daerah asal fungsi $f$ adalah $\{x \mid x < -1 \text{ atau } x > 2\}$ . Pernyataan 4 Benar.

Kesimpulan

Hanya ada 1 pernyataan yang benar, yaitu pernyataan 4.

Command Palette

Nomor 18