Soal 8

Diberikan fungsi $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 5}$ .

Berdasarkan informasi di atas, tentukan apakah setiap pernyataan berikut bernilai BENAR atau SALAH.

Urutan nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan 1, 2, dan 3 adalah ....

Mari kita periksa kebenaran masing-masing pernyataan.

Kita akan mencari fungsi invers dari $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 5}$ .

Misalkan $f(x) = y$ , maka:

y = \frac{2x + 1}{3x - 5}

y(3x - 5) = 2x + 1

3xy - 5y = 2x + 1

3xy - 2x = 5y + 1

x(3y - 2) = 5y + 1

x = \frac{5y + 1}{3y - 2}

Jadi, fungsi inversnya adalah:

f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{3x - 2}

Pernyataan 1 Benar.

Daerah hasil (range) dari fungsi invers $f^{-1}(x)$ adalah sama dengan daerah asal (domain) dari fungsi aslinya $f(x)$ .

Fungsi $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 5}$ terdefinisi jika penyebut tidak sama dengan nol:

3x - 5 \neq 0

3x \neq 5

x \neq \frac{5}{3}

Artinya, domain dari $f(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $\frac{5}{3}$ .

Oleh karena itu, daerah hasil dari $f^{-1}(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $\frac{5}{3}$ .

Jadi, nilai $y = \frac{5}{3}$ memang bukan anggota daerah hasil $f^{-1}(x)$ .

Pernyataan 2 Benar.

Kita cek apakah $x = \frac{1}{2}$ memenuhi $f(x) = f^{-1}(x)$ .

Hitung nilai $f\left(\frac{1}{2}\right)$ :

f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2}) + 1}{3(\frac{1}{2}) - 5}

= \frac{1 + 1}{\frac{3}{2} - \frac{10}{2}}

= \frac{2}{-\frac{7}{2}}

= 2 \times \left(-\frac{2}{7}\right) = -\frac{4}{7}

Hitung nilai $f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ :

f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5(\frac{1}{2}) + 1}{3(\frac{1}{2}) - 2}

= \frac{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}}{\frac{3}{2} - \frac{4}{2}}

= \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}}

= \frac{7}{2} \times (-2) = -7

Karena $-\frac{4}{7} \neq -7$ , maka $x = \frac{1}{2}$ tidak memenuhi persamaan tersebut.

Pernyataan 3 Salah.

Urutan nilai kebenaran yang tepat adalah Benar, Benar, Salah.

Command Palette