Soal 9

Pembahasan

Kita akan menyusun sandi dengan pola Huruf - Angka - Huruf - Angka.

Misalkan slot untuk sandi tersebut adalah:

Diketahui himpunan yang tersedia:

• Huruf Vokal: $\{A, I, U, E, O\}$ ($5$ huruf).
• Angka Ganjil untuk $A_1$: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ angka).
• Angka Pilihan untuk $A_2$: $\{0, 1, 2, 4, 6\}$ ($5$ angka).

Aturan dan Batasan:

1. $H_1 \neq A$.
2. $H_2 = O$.
3. Tidak boleh ada pengulangan huruf maupun angka.

Karena $A_1$ harus ganjil dan $A_2$ dipilih dari himpunan tertentu, terdapat irisan pada angka $1$. Kita perlu membagi kasus berdasarkan nilai $A_2$.

Kasus 1 Jika Angka Kedua Adalah 1

Jika kita memilih angka $1$ untuk posisi $A_2$:

1. $H_2$ (Huruf kedua): Harus $O$ ($1$ cara).
2. $A_2$ (Angka kedua): Harus $1$ ($1$ cara).
3. $H_1$ (Huruf pertama): Vokal selain $A$ dan selain $O$ (karena $O$ sudah dipakai di $H_2$).
   • Pilihan: $\{I, U, E\}$ ($3$ cara).
4. $A_1$ (Angka pertama): Angka ganjil selain $1$ (karena $1$ sudah dipakai di $A_2$).
   • Pilihan: $\{3, 5, 7, 9\}$ ($4$ cara).

Total cara untuk Kasus $1$:

Kasus 2 Jika Angka Kedua Bukan 1

Jika kita memilih angka selain $1$ untuk posisi $A_2$ (yaitu genap):

1. $H_2$ (Huruf kedua): Harus $O$ ($1$ cara).
2. $A_2$ (Angka kedua): Dipilih dari $\{0, 2, 4, 6\}$ ($4$ cara).
3. $H_1$ (Huruf pertama): Vokal selain $A$ dan selain $O$.
   • Pilihan: $\{I, U, E\}$ ($3$ cara).
4. $A_1$ (Angka pertama): Angka ganjil $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Karena $A_2$ adalah genap, tidak ada konflik. Semua angka ganjil bisa dipilih.
   • Pilihan: $5$ cara.

Total cara untuk Kasus $2$:

Total Kombinasi

Jumlahkan hasil dari kedua kasus tersebut:

Jadi, banyak sandi yang dapat dibentuk adalah $72$.