Soal 12

Diketahui $(x - 1)$ dan $(x + 3)$ adalah faktor dari persamaan suku banyak $x^3 - ax^2 - bx + 12 = 0$

Jika $x_1, x_2,$ dan $x_3$ adalah akar-akar persamaan tersebut dan $x_1 < x_2 < x_3$ , nilai $x_1 + x_2 + x_3$ adalah ....

Diketahui $P(x) = x^3 - ax^2 - bx + 12$ dengan faktor $(x - 1)$ dan $(x + 3)$

Jika faktornya $x = 1$ , maka $P(1) = 0$

(1)^3 - a(1)^2 - b(1) + 12 = 0

-a - b + 13 = 0

a + b = 13 \quad \text{...(i)}

Jika faktornya $x = -3$ , maka $P(-3) = 0$

(-3)^3 - a(-3)^2 - b(-3) + 12 = 0

-27 - 9a + 3b + 12 = 0

-9a + 3b = 15

3a - b = -5 \quad \text{...(ii)}

Eliminasi persamaan $\text{(i)}$ dan $\text{(ii)}$

\begin{array}{rcrcrl} 3a & - & b & = & -5 & \\ a & + & b & = & 13 & + \\ \hline 4a & & & = & 8 & \\ a & & & = & 2 & \end{array}

Substitusi nilai $a$

a + b = 13

2 + b = 13 \Rightarrow b = 11

Artinya $P(x) = x^3 - 2x^2 - 11x + 12$

Faktor lain $P(x)$ dicari menggunakan Horner dengan $(x - 1) \Rightarrow x = 1$

\begin{array}{r|rrrrl} & x^3 & x^2 & x^1 & x^0 & \\ \hline 1 & 1 & -2 & -11 & 12 & \\ & & 1 & -1 & -12 & + \\ \hline & 1 & -1 & -12 & 0 & \rightarrow S(x) \\ & x^2 & x^1 & x^0 & & \end{array}

Hasil pembagian $S(x) = x^2 - x - 12$

Faktorkan $x^2 - x - 12$

x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

Maka faktor selain $(x - 1)$ dan $(x + 3)$ adalah $(x - 4)$

Karena $x_1 < x_2 < x_3$ , maka

x_1 = -3, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 4

x_1 + x_2 + x_3 = -3 + 1 + 4 = 2

Jadi, nilai $x_1 + x_2 + x_3 = 2$

Command Palette