Soal 26

Diketahui sistem persamaan

x + y^2 = y^3

y + x^2 = x^3

Banyaknya pasangan bilangan riil $(x, y)$ yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah....

Pembahasan

Kalikan persamaan pertama dengan $x^2$ dan persamaan kedua dengan $y^2$

(x + y^2 = y^3) \times x^2 \Rightarrow x^3 + x^2y^2 = x^2y^3

(y + x^2 = x^3) \times y^2 \Rightarrow y^3 + x^2y^2 = x^3y^2

Kurangi persamaan pertama dengan persamaan kedua

\begin{aligned} (x^3 + x^2y^2) - (y^3 + x^2y^2) &= x^2y^3 - x^3y^2 \\ x^3 - y^3 &= x^2y^3 - x^3y^2 \end{aligned}

Faktorkan kedua ruas

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

x^2y^3 - x^3y^2 = x^2y^2(y - x) = -x^2y^2(x - y)

Substitusikan ke persamaan

(x - y)(x^2 + xy + y^2) = -x^2y^2(x - y)

(x - y)(x^2 + xy + y^2) + x^2y^2(x - y) = 0

(x - y)(x^2 + xy + y^2 + x^2y^2) = 0

Maka ada dua kasus

x - y = 0 \quad \text{atau} \quad x^2 + xy + y^2 + x^2y^2 = 0

Untuk kasus pertama, $x = y$ . Substitusikan $y = x$ ke persamaan pertama

x + y^2 = y^3

x + x^2 = x^3

x^3 - x^2 - x = 0

x(x^2 - x - 1) = 0

Maka $x = 0$ atau $x^2 - x - 1 = 0$ .

Untuk $x^2 - x - 1 = 0$ , nilai diskriminannya adalah

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5

Nilai diskriminan $D = 5 > 0$ , yang berarti persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar real yang berbeda.

Jadi dari kasus pertama diperoleh:

$x = 0$ , maka $y = 0$ , sehingga pasangan $(0, 0)$
$x^2 - x - 1 = 0$ mempunyai 2 akar real berbeda, sehingga 2 pasangan $(x, y)$ dengan $y = x$

Untuk kasus kedua $x^2 + xy + y^2 + x^2y^2 = 0$ , karena semua suku non-negatif dan $x^2y^2 \geq 0$ , maka persamaan ini hanya terpenuhi jika $x = 0$ dan $y = 0$ , yang sudah termasuk dalam kasus pertama.

Jadi sistem persamaan tersebut memiliki 3 pasangan yang berbeda.

Command Palette

Nomor 26

Pembahasan