Soal 38

Jika $\sin x - \sin y = -\frac{1}{3}$ dan $\cos x - \cos y = \frac{1}{2}$ , maka nilai $\sin(x + y)$ = ....

Ingat konsep identitas

\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

Maka akan kita dapatkan dua persamaan dari yang diketahui yaitu

2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} = -\frac{1}{3} \quad \ldots \text{(1)}

-2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} = \frac{1}{2} \quad \ldots \text{(2)}

Persamaan $\text{(2)}$ dibagi dengan persamaan $\text{(1)}$

\frac{\text{(2)}}{\text{(1)}}: \quad \frac{-2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}}{2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{3}}

-\tan \frac{x + y}{2} = -\frac{3}{2}

\tan \frac{x + y}{2} = \frac{3}{2}

Sisi depannya adalah $3$ , dan sisi sampingnya $2$ . Maka dengan phytagoras didapat sisi miringnya

\text{Mi} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

Dengan begitu

\sin \frac{x + y}{2} = \frac{\text{de}}{\text{mi}} = \frac{3}{\sqrt{13}}

\cos \frac{x + y}{2} = \frac{\text{sa}}{\text{mi}} = \frac{2}{\sqrt{13}}

Maka nilai $\sin(x + y)$

\sin(x + y) = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x + y}{2}

\sin(x + y) = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}

\sin(x + y) = \frac{12}{13}

Command Palette