Kita telah belajar memfaktorkan polinomial, misalnya menggunakan Teorema Faktor. Namun, terkadang hasil pemfaktoran masih menyisakan faktor yang bukan linier (seperti faktor kuadrat) yang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut menggunakan bilangan real.
Faktorisasi Penuh (atau Faktorisasi Linier Penuh) adalah proses memfaktorkan suatu polinomial hingga menjadi perkalian faktor-faktor linier, di mana faktor-faktor ini bisa melibatkan bilangan kompleks.
Konsep ini didasarkan pada Teorema Fundamental Aljabar yang menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n≥1 memiliki tepat n akar (pembuat nol) dalam himpunan bilangan kompleks (termasuk akar real dan akar yang berulang).
Jika P(x) adalah polinomial berderajat n≥1 dengan koefisien utama an=0, maka ada bilangan-bilangan kompleks c1,c2,…,cn (yang merupakan akar-akar dari P(x)) sedemikian sehingga:
P(x)=an(x−c1)(x−c2)…(x−cn)
Artinya, setiap polinomial berderajat n dapat dipecah menjadi tepat n faktor linier (x−akar) dikalikan dengan koefisien utamanya.
Sebuah pertanyaan penting muncul: Apakah mungkin suatu polinomial yang semua koefisien dan konstantanya berupa bilangan real memiliki tepat satu pembuat nol bilangan kompleks yang bukan bilangan real?
Jawabannya adalah tidak mungkin.
Ini disebabkan oleh sifat pasangan akar konjugat. Jika sebuah polinomial memiliki koefisien-koefisien real, maka akar-akar kompleks non-realnya (a+bi dengan b=0) selalu muncul dalam pasangan konjugat.
Artinya, jika a+bi adalah akar, maka konjugatnya, a−bi, juga pasti merupakan akar dari polinomial tersebut.
Oleh karena itu, akar kompleks non-real tidak bisa muncul sendirian; mereka selalu datang berpasangan. Jadi, tidak mungkin ada tepat satu akar kompleks non-real untuk polinomial berkoefisien real.
