Refleksi Vertikal

Mencerminkan Grafik terhadap Sumbu Horizontal

Refleksi vertikal mencerminkan grafik fungsi terhadap sumbu $x$. Seperti bayangan pada permukaan air yang tenang, setiap titik mempertahankan posisi horizontalnya dan berpindah sejauh jarak yang sama ke sisi berlawanan.

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$, maka refleksi vertikal menghasilkan fungsi baru $g(x) = -f(x)$ yang merupakan bayangan dari fungsi asli terhadap sumbu $x$.

Aturan Refleksi Vertikal

Untuk setiap fungsi $f(x)$, refleksi vertikal didefinisikan sebagai:

Transformasi ini mengubah setiap titik $(x, y)$ pada grafik asli menjadi $(x, -y)$ pada grafik hasil refleksi.

Visualisasi Refleksi Vertikal

Fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ memperlihatkan perubahan pada setiap nilai keluaran.

Grafik tersebut menunjukkan:

• Fungsi asli $f(x) = x^2$ membuka ke atas dengan titik puncak di $(0, 0)$
• Fungsi hasil refleksi $g(x) = -x^2$ membuka ke bawah dengan titik puncak tetap di $(0, 0)$
• Kedua grafik merupakan bayangan cermin satu sama lain terhadap sumbu $x$

Refleksi Vertikal pada Fungsi Linear

Aturan refleksi yang sama berlaku pada fungsi linear $f(x) = 2x + 3$.

Kedua garis menunjukkan:

• Fungsi asli $f(x) = 2x + 3$ memiliki kemiringan positif dan memotong sumbu $y$ di $(0, 3)$
• Fungsi hasil refleksi $g(x) = -2x - 3$ memiliki kemiringan negatif dan memotong sumbu $y$ di $(0, -3)$
• Kedua garis berpotongan di sumbu $x$

Nilai Mana yang Berubah pada Refleksi Vertikal

Refleksi vertikal membalik grafik terhadap sumbu $x$, jadi sumbu $x$ berperan sebagai garis cermin. Setiap titik pada grafik asli mempertahankan jaraknya ke garis cermin, tetapi berpindah ke sisi yang berlawanan.

Ambil titik $(a, b)$ pada grafik $f(x)$. Titik yang bersesuaian pada grafik $-f(x)$ adalah $(a, -b)$. Koordinat $x$ tetap $a$, dan hanya tanda nilai $y$ yang berbalik.

Range berbalik ke sisi yang berlawanan karena range memuat nilai keluaran, dan nilai itu berubah tanda. Domain tetap karena batas nilai masukan tidak berubah. Refleksi horizontal membalik koordinat horizontal dan membiarkan tinggi grafik tetap.

Mencerminkan Grafik Eksponensial terhadap Sumbu Horizontal

Pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$, setiap keluaran positif berpindah ke keluaran negatif yang bersesuaian.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi (karena sumbu $x$ terpantul pada dirinya sendiri)
• Titik potong dengan sumbu $y$ berubah dari $(0, 1)$ menjadi $(0, -1)$
• Fungsi yang semula naik menjadi turun

Refleksi Vertikal pada Fungsi Trigonometri

Pada fungsi $\sin$, refleksi vertikal menukar puncak dan lembah.

Grafik tersebut menunjukkan:

• Amplitudo tetap sama tetapi arah gelombang terbalik
• Periode dan frekuensi tidak berubah
• Titik maksimum menjadi titik minimum dan sebaliknya

Latihan

Tiga soal berikut memakai aturan cermin yang baru saja kamu pelajari. Setiap soal mengalikan seluruh nilai keluaran dengan $-1$, jadi setiap tinggi muncul di sisi yang berlawanan dari sumbu $x$. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Tentukan persamaan fungsi hasil refleksi vertikal.

2. Grafik fungsi $g(x) = 3^x + 2$ direfleksikan terhadap sumbu $x$. Tentukan persamaan fungsi hasilnya, lalu tentukan range fungsi tersebut.

3. Fungsi $h(x) = \sqrt{x + 1}$ mengalami refleksi vertikal. Tentukan titik potong dengan sumbu $y$ dari fungsi hasil refleksi.

Kunci Jawaban

Pencerminan vertikal mengalikan seluruh bentuk keluaran dengan $-1$, karena di situlah letak aturan cerminnya. Persamaannya lalu disederhanakan dan grafik barunya diperiksa untuk memastikan posisinya berada di sisi yang berlawanan dari sumbu $x$.

1. Refleksi vertikal: $f'(x) = -f(x) = -(x^2 + 4x + 3) = -x^2 - 4x - 3$

   Fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$ dan Hasil Refleksinya

   Parabola yang terbuka ke atas dicerminkan terhadap sumbu $x$ dan menjadi terbuka ke bawah.

   KisiRotasi otomatis

2. Persamaan fungsi hasil refleksi:

   • Refleksi vertikal: $g'(x) = -(3^x + 2) = -3^x - 2$
   • Range setelah refleksi: Karena range asli $g(x) = 3^x + 2$ adalah $(2, \infty)$, maka range setelah refleksi adalah $(-\infty, -2)$

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = 3^x + 2$ dan Hasil Refleksinya

   Kurva eksponensial yang naik direfleksikan menjadi kurva yang turun dengan asimtot horizontal baru.

   KisiRotasi otomatis

3. Fungsi asli $h(x) = \sqrt{x + 1}$ memiliki titik potong dengan sumbu $y$ di $(0, 1)$ karena $h(0) = \sqrt{0 + 1} = 1$. Setelah refleksi vertikal: $h'(x) = -\sqrt{x + 1}$, titik potong dengan sumbu $y$ menjadi $(0, -1)$.

   Fungsi $h(x) = \sqrt{x + 1}$ dan Hasil Refleksinya

   Kurva akar kuadrat direfleksikan terhadap sumbu $x$ menghasilkan kurva yang membuka ke bawah.

   KisiRotasi otomatis