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Jedes Beispiel behandelt eine andere algebraische Form und begründet die Wahl der Methode. Schreibe einen Quotienten oder eine Wurzel vor dem Ableiten als Potenz, denn dann greift die Potenzregel direkt bei jedem Glied.
Bestimme die erste Ableitung von .
Lösung:
Wir können jeden Term einzeln differenzieren, indem wir die Potenzregel und die Konstantenregel verwenden.
Die Ableitung des linearen Terms ist , die Ableitung der Konstanten ist . Das Ergebnis gilt für alle reellen Zahlen, auch für .
Bestimme für die erste Ableitung von .
Lösung:
Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.
Methode 1: Produktregel
Zuerst wandeln wir die Wurzelform in einen Exponenten um: .
Seien und . Dann und .
Methode 2: Zuerst vereinfachen
Wir können die Funktion vereinfachen, bevor wir sie differenzieren.
Beide Methoden liefern . Das vorherige Vereinfachen benötigt weniger Schritte. Die Produktregel differenziert beide Faktoren getrennt und dient damit als unabhängige Kontrolle derselben Ableitung. Als reellwertige Funktion hat der ursprüngliche Ausdruck den Definitionsbereich . Die Ableitung oben wird im Inneren dieses Bereichs, also für , bestimmt.
Bestimme im Definitionsbereich die erste Ableitung von .
Lösung:
Wir verwenden die Quotientenregel. Seien und . Dann und .
Die Einschränkung gehört weiterhin zum Definitionsbereich der Ableitung.
Jede Aufgabe verlangt die Ableitung eines algebraischen Terms. Vereinfache den Term wenn möglich und wende dann die Potenzregel an.
Schreibe die Funktion zuerst als Summe von Potenzen. Danach kann die Potenzregel auf jeden Term angewendet werden.
Schritt 1: Bruch aufteilen
Verteile den gemeinsamen Nenner auf die beiden Terme im Zähler:
Schritt 2: Jeden Term vereinfachen
Schreibe die Quadratwurzel als Potenz und vereinfache jeden Term mit den Potenzgesetzen.
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Sobald die Funktion vereinfacht ist, können wir sie Term für Term direkt differenzieren.
Die erste Ableitung ist also .
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