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Nachdem wir die verschiedenen Ableitungsregeln kennengelernt haben, wenden wir sie nun auf algebraische Funktionen an. Ob Polynom, rationale Funktion oder Wurzelfunktion: Entscheidend ist, die Struktur zu erkennen und die passende Regel zu wählen. Die folgenden Beispiele zeigen diese Strategie Schritt für Schritt.
Jedes Beispiel behandelt eine andere algebraische Form und begründet die Wahl der Methode.
Bestimme die erste Ableitung von .
Lösung:
Wir können jeden Term einzeln differenzieren, indem wir die Potenzregel und die Konstantenregel verwenden.
Bestimme für die erste Ableitung von .
Lösung:
Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.
Methode : Produktregel
Zuerst wandeln wir die Wurzelform in einen Exponenten um: .
Seien und . Dann und .
Methode : Zuerst vereinfachen
Wir können die Funktion vereinfachen, bevor wir sie differenzieren.
Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Das Vereinfachen ist hier kürzer, während die Produktregel nachvollziehbar macht, weshalb das Ergebnis stimmt. Als reellwertige Funktion hat der ursprüngliche Ausdruck den Definitionsbereich ; die Ableitung oben wird im Inneren dieses Bereichs, also für , bestimmt.
Bestimme im Definitionsbereich die erste Ableitung von .
Lösung:
Wir verwenden die Quotientenregel. Seien und . Dann und .
Die Einschränkung gehört weiterhin zum Definitionsbereich der Ableitung.
Am einfachsten ist es, die Funktion vor dem Ableiten zu vereinfachen.
Schritt : Bruch aufteilen
Zur Vereinfachung können wir den Bruch in zwei separate Teile aufteilen.
Schritt : Jeden Term vereinfachen
Schreibe die Quadratwurzel als Potenz und vereinfache jeden Term mit den Potenzgesetzen.
Schritt : Potenzregel anwenden
Sobald die Funktion vereinfacht ist, können wir sie Term für Term direkt differenzieren.
Die erste Ableitung ist also .
